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不定积分计算-换元法

## 9.2 换元法和分部积分法
这一节介绍计算不定积分的主要方法，其中有两种换元法和分部积分法．

## 9.2.1 换元法1——凑微分法
第一种换元法是例题 9.8 的推广．在该例题中，从 $F^{\prime}(u)=f(u)$ 出发，对于 $u=a x+b$ 有

$$
\int f(a x+b) d x=\frac{1}{a} F(a x+b)+C
$$

现在再发展一步，同样从 $F^{\prime}(u)=f(u)$ 出发，也就是有 $\int f(u) d u=F(u)+C$,则对于可微函数 $u=u(x)$ 就有

$$
\int f(u(x)) u^{\prime}(x) d x=F(u(x))+C
$$

由此可见，这实际上就是作代换 $u=u(x)$ ，在形式上可以将积分写为 $\int f(u(x)) d u(x)$ ，即 $\int f(u) d u$ ，在它的不定积分 $F(u)+C$ 中将 $u=u(x)$ 代入得到最后答案。

这里要注意以下几点：
（1）换元法 1 的正确性来自于求复合函数导数的链式法则．
（2）在不定积分记号中引入微分 $d x$ 对于换元法的使用有帮助．从上面的等式可见，换元法 1 就是要将积分号下的被积表达式凑成为复合函数 $F(u(x))$ 的微分：

$$
f(u(x)) u^{\prime}(x) d x=f(u(x)) d u(x)=d F(u(x)),
$$

因此可以将换元法 1 称为湊微分法．
在 $\S 9.1 .5$ 中已经见到用 $u(x)=a x+b$ 的许多例题，它们都是用换元法 1 的简单情况．下面先看一个重要例题．

例题 9.16 若有 $F^{\prime}(u)=f(u)$ ，则在 $\alpha \neq 0$ 时有

$$
\int f\left(x^\alpha\right) x^{\alpha-1} d x=\frac{1}{\alpha} \int f\left(x^\alpha\right) d\left(x^\alpha\right)=\frac{1}{\alpha} F\left(x^\alpha\right)+C
$$

其中 $u(x)=x^\alpha$ ．
今后称 $u=x^\alpha$ 为幂代换，特别称 $u=x^{-1}$ 为倒代换．可以用这些代换的例子很多，例如 $\alpha=-1$ 时从 $F^{\prime}(u)=f(u)$ 有

$$
\int f\left(\frac{1}{x}\right) \frac{1}{x^2} d x=-\int f\left(\frac{1}{x}\right) d\left(\frac{1}{x}\right)=-F\left(\frac{1}{x}\right)+C
$$

对于 $\alpha=2$ 则有

$$
\int f\left(x^2\right) x d x=\frac{1}{2} \int f\left(x^2\right) d\left(x^2\right)=\frac{1}{2} F\left(x^2\right)+C .
$$

此外，可以归入这一类的还有

$$
\int f(\ln x) \frac{d x}{x}=\int f(\ln x) d(\ln x)=F(\ln x)+C
$$

下面是用幂代换的常见例子。
例题 9.17 求 $I=\int \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x} d x$ ．
解 $I=-\int \sin \frac{1}{x} d\left(\frac{1}{x}\right)=\cos \frac{1}{x}+C$ ．
例题 9.18 求 $I=\int \frac{ d x}{x \sqrt{x^2+1}}$ ．
解 这里可以用倒代换：

$$
\begin{aligned}
I & =\int \frac{x d x}{x^2 \sqrt{x^2+1}}=-\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} d\left(\frac{1}{x}\right) \\
& =-\int \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}} d\left(\frac{1}{x}\right)=-\ln \left|\frac{1}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\right|+C \\
& =\ln \left|\frac{x}{1+\sqrt{x^2+1}}\right|+C .
\end{aligned}
$$

例题 9.19 求 $I=\int \frac{ d x}{\sqrt{x}(1+x)}$ ．
解 $I=\int \frac{2}{1+(\sqrt{x})^2} d(\sqrt{x})=2 \arctan (\sqrt{x})+C$ ．
例题 9.20 求 $I=\int \frac{ d x}{x\left(1+x^n\right)}$ ，其中 $n$ 为正整数．
解 关键在于写出 $I=\int \frac{x^{n-1} d x}{x^n\left(1+x^n\right)}=\frac{1}{n} \int \frac{d\left(x^n\right)}{x^n\left(1+x^n\right)}$ ，于是可以先计算出

$$
\int \frac{d u}{u(1+u)}=\int\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{1+u}\right) d u=\ln \left|\frac{u}{1+u}\right|+C
$$

再令 $u=x^n$ 代入就得到 $I=\frac{1}{n} \ln \left|\frac{x^n}{1+x^n}\right|+C$ ．
例题 9.21 求 $I=\int \frac{ d x}{x \ln x}$ ．
解 看出可用 $u=\ln x$ ，就得到 $I=\ln |\ln x|+C$ ．
例题 9.22 求 $I=\int \frac{ d x}{\left(x^2+1\right)^{3 / 2}}$
解 1 对这个例子介绍一种新方法．利用

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