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线性运算公式

## 9.1.4 线性运算公式
不定积分的线性运算公式是

$$
\int[\alpha f(x)+\beta g(x)] d x=\alpha \int f(x) d x+\beta \int g(x) d x
$$

它来自于导数计算的线性法则（见 $\S 6.2 .3$ 的法则 1 ），还可推广到有限项线性组合的情况．下面是用这个公式的几个例子。

**例题9.5** $ \int\left(x^2-2 x+3\right) d x=\int x^2 d x-2 \int x d x+3 \int d x=\frac{x^3}{3}-x^2+3 x+C$ ．
注 虽然这一题的计算是通过对三项分别求不定积分后相加，但最后答案中只要写一个任意常数即可．这从不定积分是集合的观点来看是容易理解的．

**例题9.6** $\int \frac{x^2}{x^2+1} d x=\int\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right) d x=x-\arctan x+C$ ．

**例题9.7** $ \int \cos ^2 \frac{x}{2} d x=\int \frac{1+\cos x}{2} d x=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \sin x+C$ ．

## 9.1.5 例题
例题 9.8 这里介绍一种方法，即若有

$$
\int f(u) d u=F(u)+C
$$

则就有

$$
\int f(a x+b) d x=\frac{1}{a} F(a x+b)+C
$$

用链式法则就可见这是成立的．利用不定积分记号中的 $d x$ 就可以如下记忆：

$$
\begin{aligned}
\int f(a x+b) d x & =\frac{1}{a} \int f(a x+b) d(a x+b) \\
& =\frac{1}{a} \int f(u) d u \quad(\text { 记住其中 } u=a x+b) \\
& =\frac{1}{a} F(u)+C \quad(\text { 记住其中 } u=a x+b) \\
& =\frac{1}{a} F(a x+b)+C . \quad \square
\end{aligned}
$$

下面是应用这个方法的几个例子．
例题 $9.9 \int \frac{d x}{x+1}=\int \frac{1}{x+1} d(x+1)=\ln |x+1|+C$ ．
例题 $9.10 \int \sin 3 x d x=\frac{1}{3} \int \sin 3 x d(3 x)=-\frac{1}{3} \cos 3 x+C$ ．
例题 $9.11 \int e ^{-\frac{x}{2}} d x=-2 \int e ^{-\frac{x}{2}} d\left(-\frac{x}{2}\right)=-2 e ^{-\frac{x}{2}}+C$ ．
例题 $9.12 \int \frac{d x}{x^2-2 x+5}=\int \frac{ d x}{(x-1)^2+2^2}=\int \frac{ d (x-1)}{(x-1)^2+2^2}$ ．

$$
=\frac{1}{2} \arctan \frac{x-1}{2}+C
$$

例题 $9.13 \int \frac{d x}{\sqrt{x(1-x)}}$

$$
\begin{aligned}
& =\int \frac{d\left(x-\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}} \\
& =\arcsin \frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+C=\arcsin (2 x-1)+C
\end{aligned}
$$

例题 9.14 计算 $I=\int \frac{x^2+3}{x(x+1)(x+2)} d x$ ．
解 1 这是求有理分式函数的不定积分的一个特例，其一般性讨论将在 $\S 9.3 .2$中进行，这里先通过这个特例介绍一种重要方法，即分拆法。

在分母为三个一次因子的乘积时，可以将被积函数分拆如下，其中含三个待定常数：

$$
\frac{x^2+3}{x(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}
$$

将右边的三个分式通分，分子为

$$
\begin{aligned}
A(x+1)(x+2) & +B x(x+2)+C x(x+1) \\
& =(A+B+C) x^2+(3 A+2 B+C) x+2 A
\end{aligned}
$$

将上式等置于左边的分子 $x^2+3$ ，就得到关于 $A, B, C$ 的线性代数方程组

$$
A+B+C=1,3 A+2 B+C=0,2 A=3
$$

然后解得 $A=\frac{3}{2}, B=-4, C=\frac{7}{2}$ ．理论上可以证明这样的解一定存在惟一。然而这种方法需要求解线性代数方程组，计算量可能大一点。

最后计算积分得到

$$
\begin{aligned}
I & =\int\left(\frac{3 / 2}{x}+\frac{-4}{x+1}+\frac{7 / 2}{x+2}\right) d x=\frac{3}{2} \int \frac{d x}{x}-4 \int \frac{d x}{x+1}+\frac{7}{2} \int \frac{d x}{x+2} \\
& =\ln \frac{|x|^{\frac{3}{2}}|x+2|^{\frac{7}{2}}}{|x+1|^4}+C .
\end{aligned}
$$

解 2 这里介绍求待定常数 $A, B, C$ 的另一种方法．先说如何求 $A$ ．将上述待定的分解式（9．2）的两边乘以 $x$ ，然后令 $x \rightarrow 0$ ，这样就可以发现右边等于 $A$ ，而左边就是去掉分母中的因子 $x$ 后用 $x=0$ 代入的结果。由于原来的有理函数于 $x=0$没有定义，因此用 $x=0$ 代入可说成是对两边乘 $x$ 后令 $x \rightarrow 0$ ．这样就得到 $A=\frac{3}{2}$ ．

用同样的方法，在（9．2）的两边乘以 $x+1$ 并令 $x \rightarrow-1$ ，就得到 $B=-4$ ．最后，再在两边乘以 $x+2$ 并令 $x \rightarrow-2$ ，就得到 $C=\frac{7}{2}$ ．以下积分计算同解 1 ．

注 在（9．2）的两边乘 $x$ 再令 $x \rightarrow+\infty$ ，就得到

$$
A+B+C=1
$$

从而可从 $A, B$ 求出 $C=1-A-B=1-\frac{3}{2}+4=\frac{7}{2}$ ．当然还可以找到求待定常数的其他途径，这里有很大的灵活性。

这种将有理分式分拆为简单分式的方法在前面已经多次出现。例如在基本不定积分表中求 $\int \frac{ d x}{x^2-a^2}$ 时就是如此．又如在第一册的例题 6.18 中，对高阶导数 $\left(\frac{1}{x(x-1)}\right)^{(n)}$ 的计算就是通过分解

$$
\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}
$$

而得到解决的．此外，例题 3.10 和例题 8.34 中也都是如此．
例题 9.15 求 $I=\int x(1-2 x)^{99} d x$ ．
解 这里当然不宜用二项式定理展开 $(1-2 x)^{99}$ ，而应当将 $1-2 x$ 看成为一个中间变量 $u$ ，然后将被积函数用 $u$ 表出：

$$
x(1-2 x)^{99}=(1-2 x)^{100}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}(1-2 x)^{99} .
$$

然后计算如下：

$$
\begin{aligned}
I & =-\frac{1}{2} \int(1-2 x)^{100} d x+\frac{1}{2} \int(1-2 x)^{99} d x \\
& =\frac{1}{4} \int(1-2 x)^{100} d(1-2 x)-\frac{1}{4} \int(1-2 x)^{99} d(1-2 x) \\
& =\frac{1}{404}(1-2 x)^{101}-\frac{1}{400}(1-2 x)^{100}+C \\
& =\frac{1}{4}(1-2 x)^{100}\left(\frac{1}{101}(1-2 x)-\frac{1}{100}\right)+C \\
& =-(1-2 x)^{100}\left(\frac{1}{202} x+\frac{1}{40400}\right)+C .
\end{aligned}
$$

小结 在原函数和不定积分的定义中不涉及到极限运算，因此以上计算只是如何利用基本不定积分表．然而仅仅如此是走不了多远的．如果被积函数或在将它分拆为几项之后，仍然与不定积分表中的任何一个公式都对不上，则如何能够猜测出它的原函数是什么？为此需要有求不定积分的新方法．这就是下面两节的内容．

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