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基本不定积分表及其应用

## 9.1.3 基本不定积分表及其应用
利用初等函数求导，就可以验证下列基本不定积分表的正确性．读者应将它看成是不定积分计算中的九九表，并通过做题训练以求熟练掌握其中的每一个公式．

1． $\int d x=x+C$ ；
2． $\int x^\alpha d x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)$ ；

$$
\int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C
$$

3． $\int a^x d x=\frac{1}{\ln a} a^x+C(0<a \neq 1)$ ；
$\int e ^x d x= e ^x+C ;$
4． $\int \sin x d x=-\cos x+C$ ；
$\int \cos x d x=\sin x+C$

5．$\quad \int \frac{ d x}{\cos ^2 x}=\int \sec ^2 x d x=\tan x+C ;$

$$
\int \frac{d x}{\sin ^2 x}=\int \csc ^2 x d x=-\cot x+C
$$

6． $\int \frac{ d x}{x^2+a^2}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C$ ；

$$
\int \frac{d x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2 a} \int\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right) d x=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C
$$

7． $\int \frac{ d x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$ ；

$$
\int \frac{d x}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}\right|+C
$$

（在上述 4 个公式中出现的常数 $a$ 均设为正数）
8． $\int \frac{ d x}{\sin x}=\int \csc x d x=\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C$（参见例题 6.13 ）；

$$
\int \frac{d x}{\cos x}=\int \sec x d x=\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C
$$

建议读者通过对原函数求导运算来验证表中每一个积分公式的正确性。
注 在基本不定积分表中，公式2 中有 $\int \frac{ d x}{x}=\ln |x|+C$ ，其中出现绝对号，这表明它实际上是不同区间上的两个公式：

当 $x>0$ 时有 $\int \frac{ d x}{x}=\ln x+C$ ，

当 $x<0$ 时有 $\int \frac{ d x}{x}=\ln (-x)+C$ ．

**例题9.3** 下面是利用这些基本公式所做的第一批计算题：

$$
\begin{aligned}
\int x^2 d x & =\frac{1}{3} x^3+C \\
\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x & =\int x^{-\frac{1}{2}} d x=2 x^{\frac{1}{2}}+C \\
\int 2^{-x} d x & =\int\left(\frac{1}{2}\right)^x d x=\frac{1}{\ln (1 / 2)}\left(\frac{1}{2}\right)^x+C=-\frac{2^{-x}}{\ln 2}+C \\
\int \frac{d x}{x^2+2} & =\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+C \\
\int \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}} & =\arcsin x+C \\
\int \frac{d x}{\sqrt{x^2-5}} & =\ln \mid x+\sqrt{x^2-5}+C
\end{aligned}
$$

**例题 9.4** 在不定积分计算中，积分号下的积分变量可以取 $x$ 之外的其他符号，但必须与计算得到的原函数的自变量的符号相同．下面是这方面的例子．

$$
\begin{aligned}
\int \sin \theta d \theta & =-\cos \theta+C, \quad \int t^3 d t=\frac{1}{4} t^4+C \\
\int \frac{d u}{u} & =\ln |u|+C, \quad \int e^y d y=e^y+C
\end{aligned}
$$

注 求不定积分往往不容易，然而对于所得到的结果要验证它是否正确则比较容易，只需要对结果求导即可．由于求导运算是高等数学中最容易的运算，因此希望读者要养成习惯，即通过求导运算来检查不定积分计算是否正确。

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