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原函数与不定积分

## 9.1.2  原函数与不定积分
**定义9.1** 设 $f$ 于区间 $I$ 上定义．若有在 $I$ 上定义的函数 $F$ ，它在区间 $I$ 上处处满足 $F^{\prime}(x)=f(x)$ ，则称 $F$ 为 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数．

从可导蕴含连续可知，在区间上的原函数必定是连续函数．
关于原函数有三个基本问题。
第一个问题是原函数的存在性问题，即对于在一个区间上给定的函数 $f$ ，是否存在原函数？

这不是一个很简单的问题，有待到下一章中再讨论．这里只指出，如第一册的定理 7.10 所示，若 $f$ 在一个区间上有第一类间断点，则它在这个区间上不可能有原函数．同时，例题 7.11 则表明，在一个区间上有第二类间断点的函数仍然可以在这个区间上有原函数．

第二个问题是：若存在原函数，则是否惟一？如不惟一，则在各个原函数之间有什么关系？

如前所说，这个问题已在定理 7.12 中得到解决．在那里我们就已经将它称为不定积分基本定理．它告诉我们，若 $F$ 是 $f$ 在某个区间上的一个原函数，则 $F+C$ 是 $f$ 的全部原函数，其中 $C$ 是任意常数．

从几何上看，集合 $F(x)+C$ 就是将某一个原函数 $F$的图像在 $y$ 轴方向作平行移动所得到的曲线全体。对于固定的自变量，各个曲线的对应点上的切线斜率相等（参见图 9．3）。

![图片](/uploads/2025-02/6d3e6d.jpg)
  
  
由此提出以下概念。
**定义9.2** 将函数 $f$ 的原函数全体 $F+C$ 记为 $\int f(x) d x$ ，即有

$$
\int f(x) d x=F(x)+C
$$

其中 $C$ 为任意常数．称 $\int f(x) d x$ 为 $f$ 的不定积分，即 $f$的全部原函数所成集合．称 $f$ 为被积函数，$x$ 为积分变量，$f(x) d x$ 为被积表达式。

**注 1** 不定积分记号 $\int f(x) d x$ 代表一个集合，即 $\left\{F(x) \mid F^{\prime}(x)=f(x)\right\}$ ，习惯上记为 $F(x)+C$ ，其中 $F(x)$ 是 $f$ 的一个原函数。今后若同一个不定积分题出现两种答案 $F_1(x)+C$ 和 $F_2(x)+C$ ，则 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 可以相差一个常数．

**注 2** 在定义 9.2 的不定积分记号中，除了 $f(x)$ 之外还出现微分 $d x$ 。从定义来看这是没有必要的。这个问题将在后面会解释，这里只指出，这样的记法对于不定积分的计算会带来很大的方便，因此从 Leibniz 创造之后就一直沿用至今.

关于原函数的第三个问题就是如何计算，这是本章以下的主要内容．

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