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数学分析
第五篇一元函数积分学
曲边梯形的面积计算问题
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2025-03-15 20:27
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曲边梯形的面积计算问题
## 9.1.1 曲边梯形的面积计算问题 正如微分学中的导数概念来自于求运动的变化率(即速度)和曲线的切线等问题,积分学起源于求平面图形的面积和立体形体的体积等问题.因此我们从面积计算问题谈起。 虽然我们很早就学了圆面积公式(以及圆周长公式),但在初等数学中无法考虑由曲线围成的一般平面图形(包括圆在内)的面积计算问题,对于圆面积公式也不能作出严格的证明.这些问题的解决需要有全新的思想和工具,这就是从本章开始学习的积分学. 如图 9.1 所示,考虑曲边梯形的面积计算问题.设有连续函数 $f \in C[a, b]$ ,且 $f(x)>0 \forall x \in[a, b]$ .该图中的曲边梯形就是由下列点集定义的平面图形: $$ \{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, 0 \leqslant y \leqslant f(x)\} . $$ 由于对一般平面图形的面积概念要到第三册的重积分一章中解决,目前先假定这类曲边梯形的面积是有意义的,并将其面积记为 $S$ .  在积分学中的方法是取 $x \in[a, b]$ ,过点 $(x, 0)$ 作平行于 $y$ 轴的直线,得到以 $[a, x]$为底边的曲边梯形 $$ \{(t, y) \mid a \leqslant t \leqslant x, 0 \leqslant y \leqslant f(t)\} . $$ 显然,这个曲边梯形的面积是 $x$ 的函数,它在区间 $[a, b]$ 上有定义,记为 $S(x)$ .若能求出这个函数,则在其中令 $x=b$ 就得到原问题的解 $S=S(b)$ . 上面所说的就是一种嵌入法.原来的问题只是求以 $[a, b]$ 为底边的一个曲边梯 形的面积,现在的问题是求以 $[a, x](a \leqslant x \leqslant b)$ 为底边的
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