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曲边梯形的面积计算问题

## 9.1.1 曲边梯形的面积计算问题
正如微分学中的导数概念来自于求运动的变化率（即速度）和曲线的切线等问题，积分学起源于求平面图形的面积和立体形体的体积等问题．因此我们从面积计算问题谈起。

虽然我们很早就学了圆面积公式（以及圆周长公式），但在初等数学中无法考虑由曲线围成的一般平面图形（包括圆在内）的面积计算问题，对于圆面积公式也不能作出严格的证明．这些问题的解决需要有全新的思想和工具，这就是从本章开始学习的积分学．

如图 9.1 所示，考虑曲边梯形的面积计算问题．设有连续函数 $f \in C[a, b]$ ，且 $f(x)>0 \forall x \in[a, b]$ ．该图中的曲边梯形就是由下列点集定义的平面图形：

$$
\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, 0 \leqslant y \leqslant f(x)\} .
$$

由于对一般平面图形的面积概念要到第三册的重积分一章中解决，目前先假定这类曲边梯形的面积是有意义的，并将其面积记为 $S$ ．

![图片](/uploads/2025-02/a78b00.jpg)

在积分学中的方法是取 $x \in[a, b]$ ，过点 $(x, 0)$ 作平行于 $y$ 轴的直线，得到以 $[a, x]$为底边的曲边梯形

$$
\{(t, y) \mid a \leqslant t \leqslant x, 0 \leqslant y \leqslant f(t)\} .
$$

显然，这个曲边梯形的面积是 $x$ 的函数，它在区间 $[a, b]$ 上有定义，记为 $S(x)$ ．若能求出这个函数，则在其中令 $x=b$ 就得到原问题的解 $S=S(b)$ ．

上面所说的就是一种嵌入法．原来的问题只是求以 $[a, b]$ 为底边的一个曲边梯
形的面积，现在的问题是求以 $[a, x](a \leqslant x \leqslant b)$ 为底边的无穷多个曲边梯形的面积．这样就将求一个特定数值的问题转变成求一个函数 $S(x)$ ，在求出这个函数之后 （若真的能够求出的话），令 $x=b$ 代入即可。

第一次接触到嵌入法的读者可能会认为这种方法有将简单问题复杂化的嫌疑。其实不然，对于曲边梯形面积问题来说，正因为将一个特殊问题放到更广泛的一个框架中去，从而可以引进变量，将静态问题转化为动态问题，并联系到前面已经学过的微分学方法来解决原问题。当然，嵌入法是一种有启发性的思想方法，或者说是一种科学方法．这里的曲边梯形面积问题只是它的一个应用实例罢了．

现在如图 9.1 中所示，同时考虑 $S(x), S(x+\Delta x)$ 以及它们之差。（图中为了确定起见对 $\Delta x$ 取正数，但当然也可以取负数．）这时可以发现

$$
\Delta S=S(x+\Delta x)-S(x) \approx f(x) \Delta x
$$

于是有

$$
\frac{\Delta S}{\Delta x} \approx f(x)
$$

从图上不难猜测到，若 $f$ 连续，则就有可能成立

$$
\frac{d S}{d x}=S^{\prime}(x)=f(x) ...(9.1)
$$

由于面积 $S(x)$ 的定义问题还没有解决，因此严格证明（9．1）成立的问题要到下一章中解决。然而从计算的角度来看，只要承认 $S(x)$ 有意义，且承认（9．1）成立，则问题就归结为如何求出导函数等于 $f(x)$ 的函数 $S(x)$ ．这就是这一章中要介绍的内容，即不定积分的计算问题．

从本书第一册的定理 7.12 （即所谓不定积分基本定理）知道，在 $f$ 连续时，满足 $S^{\prime}(x)=f(x)$ 的 $S(x)$ 若存在则一定不惟一，同时又只能是彼此相差一个常数的函数．其中哪一个才是我们所要求的呢？从图 9.1 可见，这就是满足条件 $S(a)=0$ 的那一个．这时原问题中以 $[a, b]$ 为底边的曲边梯形面积就是 $S=S(b)$ ．

**例题 9.1** 求由抛物线 $y=x^2, y=0, x=1$ 所围成的曲边三角形的面积 $S$ ．

解 如图 9.2 所示，用嵌入法定义的函数 $S(x)$ 是图中用阴影线画出的曲边三角形面积， $0 \leqslant x \leqslant 1$ ．求出满足 $S^{\prime}(x)=x^2$ 的所有解。根据定理 7.12 知道有 $S(x)=\frac{1}{3} x^3+C$ ，其中 $C$ 待定．利用条件 $S(0)=0$ 可

![图片](/uploads/2025-02/ca4612.jpg)
 
图 9．2：扡物线 $y=x^2$定出 $C=0$ ，于是所求面积为 $S=S(1)=\frac{1}{3}$ ．
$(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 下的面积

注 这虽然只是个简单例子，但在古希腊时代只有像 Archimedes 这样的数学家才能解决这类面积问题，而且他的方法也难以推广 $[12,15,18]$ ．
现在举一个简单的运动学问题，其中的问题与曲边梯形面积问题从数学上看是相同的。

**例题 9.2** 设在地面附近的一个质点从某点开始以初速 $v_0$ 在重力作用下垂直下落，求到时刻 $t$ 时所经过的路程 $s=s(t)$ ．

解 在起始点处取垂直向下的坐标轴，记 $s_0=0$ ．根据速度和加速度与路程的关系有 $\frac{ d s}{d t}=v(t), \frac{ d v}{d t}=g$ ，其中 $g$ 为重力加速度常数。

从 $\frac{ d v}{d t}=g$ 得到 $v(t)=g t+C$ ，其中 $C$ 为待定常数。根据 $v(0)=v_0$ 可确定常数 $C=v_0$ ，于是得到 $v(t)=g t+v_0$ ．

然后再从 $\frac{ d s}{d t}=v(t)=g t+v_0$ 可以得到 $s(t)=\frac{1}{2} g t^2+v_0 t+C_1$ ，其中 $C_1$ 为待定常数．从 $s(0)=s_0=0$ 可确定 $C_1=0$ ，因此就得到 $s(t)=\frac{1}{2} g t^2+v_0 t$ ．

小结 从前面的讨论和两个例题可见问题就是求解（9．1）．可以将它看成是关于未知函数 $S(x)$ 的一个方程。由于在这种方程中出现导数，因此称为微分方程。 （9．1）就是最简单的微分方程。与第六章求导数问题比较，这里是给定导数后求原来的函数，因此我们将这样的计算问题称为求导数运算的逆运算．容易看出这个逆运算与第六章中的求导公式和法则会有密切联系．

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