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一般体积公式

## 12.3.1 一般体积公式
关于体积的一般性定义和计算方法将在多元微积分中解决。但有一种简单情况则可以用一元函数的定积分来计算。

设有一个几何体夹在三维直角坐标系的两张平面 $x=a$ 和 $x=b$ 之间 $(a<b)$ ．若对于每一个 $x \in[a, b]$ ，用平面 $X=x$ 去截该几何体，所得到的截面面积是能够计算出来的，记为 $S=S(x)$ 。则我们就可以将该几何体的体积定义为

$$
V=\int_a^b S(x) d x
$$

如果该积分收玫的话．

![图片](/uploads/2025-02/f88730.jpg)

这里的思想与平面图形面积的定义完全相同．首先用许多平行于 $y z$ 坐标平面的平面去截该三维几何体，这对应于 $[a, b]$ 的一个分划 $P$ ，然后对介于两张平面之间的几何体近似地看成为母线平行于 $x$ 轴的柱体，从而它的体积近似地等于 $S\left(\xi_i\right) \Delta x_i$ ，其中 $\xi_i \in\left[x_{i-1}, x_i\right]$ ．对 $i$ 求和得到 Riemann 和，再令 $\|P\| \rightarrow 0$ 就得到定积分 ${ }^{(1)}$ ．

以下用几个简单例子验证上述积分公式的合理性．

例题 12.15 求底面积 $S$ 高为 $h$ 的圆锥体体积．
 ![图片](/uploads/2025-02/180cea.jpg)
解 如图 12.17 所示，将圆雉体的顶点取为原点，将与底面垂直的方向取为 $z$ 轴，将底面安置在水平平面 $z=h$ 上．对于 $0 \leqslant z \leqslant h$ ，平行于底面的平面 $Z=z$ 与圆雉相交的截面为圆，它的半径与 $z$ 成比例，因此截面面积 $S(z)$ 为 $k z^2$ ，其中的系数 $k$ 可以从条件 $k h^2=S$ 求出为 $k=\frac{S}{h^2}$ ，于是截面面积为 $S(z)=\frac{S}{h^2} z^2$ ，从而体积为

$$
V=\int_0^h \frac{S}{h^2} z^2 d z=\frac{1}{3} S h
$$

例题12．16 求底面积为 $S$ ，高为 $h$ 的柱体的体积．
解 按照通常所取的方法，可以将它夹在两个水平平面 $z=0$ 与 $z=h$ 之间，而截面面积 $S(z)=S$ 是常数，于是就有 $V=\int_0^h S(z) d z=S h$ ．

注 在上面两个例题中得到我们已经知道的柱体和圆雉体的体积公式，其中的柱体可以是斜柱体，即其母线和底面不必垂直，同样，如图 12.17 所示，圆锥体也可以是斜圆雉体。这就是说，两个等高的几何体，只要在所有等高处的水平截面面积相等，则它们的体积相等．这在中国古代数学中称为祖佰原理 ${ }^{(1)}$ 。

例题 12.17 求椭球 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \leqslant 1$ 的体积 $(a, b, c>0)$ ．
解 用平行于 $X o Y$ 坐标平面的平面 $Z=z,-c \leqslant z \leqslant c$ 去截椭球，则截面是椭圆，可用下列方程描述：

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leqslant 1-\frac{z^2}{c^2}
$$

将右边除到左边并写成标准形式，就可以求出它的长半轴和短半轴，这样就知道截面面积为

$$
S(z)=\pi a b\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)
$$

于是就可以计算得到

$$
V=\int_{-c}^c S(z) d z=2 \pi a b \int_0^c\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right) d z
$$

$$
=2 \pi a b\left(c-\frac{c^3}{3 c^2}\right)=\frac{4}{3} \pi a b c
$$

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