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旋转体的体积计算

## 12.3.2 旋转体的体积计算

可以纳入上述框架的一类几何体就是旋转体．如右边的图 12.18 所示的几何体就是由曲边梯形 $\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, 0 \leqslant y \leqslant y(x)\}$ 围绕 $x$轴旋转一周得到的旋转体。这时与该 $x$ 轴垂直的平面与几何体相交得到的截面是圆。因此就得到旋转体体积公式为

$$
V=\int_a^b \pi y^2(x) d x
$$

图12．18：由曲边梯形生成的旋转体

旋转体的体积计算虽然简单，但还是有需要注意的地方．
 ![图片](/uploads/2025-02/07e11d.jpg)
 
 注 习惯上有时说由某条曲线围绕某条直线旋转而生成旋转体．这不妥当．曲旋转只能生成旋转曲面．封闭的旋转曲面围成的形体才是旋转体．于是严格来说当是某个平面图形围绕不经过其内部的直线旋转而得到旋转体。这比图 12.18 中曲边梯形围绕其底边得到的旋转体要更广一点．此外还要注意，这时与旋转轴垂的平面与旋转体的截面不一定是圆，也可能是圆环，或者它们的并．当然这样的戈面面积仍然是容易计算的．

例题12．18 设由抛物线 $y=2 x^2, 0 \leqslant x \leqslant 1$ 决定两个曲边梯形：

$$
\begin{gathered}
A_x=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2 x^2\right\} \\
A_y=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 2,0 \leqslant x \leqslant \sqrt{\frac{y}{2}}\right\}
\end{gathered}
$$

出 $A_x$ 和 $A_y$ 分别绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转所产生的旋转体的体积 $x$ 和 $V_y$（参看图 12．19）．

解 先计算出相应旋转体的截面面积，就可计算得到

$$
\begin{aligned}
& V_x=\int_0^1 \pi y^2 d x=\pi \int_0^1 4 x^4 d x=\frac{4 \pi}{5} \\
& V_y=\int_0^2 \pi x^2 d y=\pi \int_0^1 \frac{y}{2} d y=\pi .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-02/266808.jpg)

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