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数学分析
第五篇一元函数积分学
旋转曲面的面积
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2025-03-16 10:11
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旋转曲面的面积
## 12.3.3 旋转曲面的面积 设在 $[a, b]$ 上有曲线 $y=y(x) \geqslant 0$ ,将它围绕 $x$ 轴旋转一周,就得到旋转曲面.对曲边梯形生成的旋转体而言,称这个旋转曲面为旋转体的侧面积. 由于曲面面积定义要到多元微积分中学,这里对于旋转曲面面积作如下定义。设 $y(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数.将 $[a, b]$ 的分划记为 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ .如图 12.21(a)所示,从曲线上的点 $M_{i-1}=\left(x_{i-1}, y_{i-1}\right)$ 处作曲线的切线,将它与 $x=x_i$ 的交点记为 $A_i$ .注意一般来说它与点 $M_i=\left(x_i, y_i\right)$ 不同.对 $i=1, \cdots, n$都这样做。然后将所有直线段 $M_{i-1} A_i$ 围绕 $x$ 旋转一周得到的面积求和。如果当 $\|P\| \rightarrow 0$ 时该和式有极限,则就作为旋转曲面的面积。这实际上就是用许多圆台的侧面积之和去逼近旋转曲面的面积.  这里需要知道圆台的侧面积公式.如图 12.21(b)所示,设圆台的上底面是半径 $r$ 的圆,下底面是半径 $r^{\prime}$ 的圆,母线长 $l$ ,则有公式(其证明见底注 ${ }^{(1)}$ ) $$ S_{\text {圆台侧 }}=\pi l\left(r^{\prime}+r\right) \text {. } $$ 记 $y_{i-1}^{\prime}=y^{\prime}\left(x_{i-1}\right)$ .在 $M_{i-1} A_i$ 绕 $x$ 轴旋转一周生成的圆台中,$r=y_{i-1}$ , $r^{\prime}=y_{i-1}+y_{i-1}^{\prime} \Delta x_i, l=\sqrt{1+y_{i-1}^{\prime 2}} \Delta x_i$ .于是这个圆台的侧面积为 $$ \begin{aligned} \Delta S_i & =\pi \sqrt{1+y_{i-1}^{\prime 2}} \De
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