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旋转曲面的面积

## 12.3.3 旋转曲面的面积
设在 $[a, b]$ 上有曲线 $y=y(x) \geqslant 0$ ，将它围绕 $x$ 轴旋转一周，就得到旋转曲面．对曲边梯形生成的旋转体而言，称这个旋转曲面为旋转体的侧面积．

由于曲面面积定义要到多元微积分中学，这里对于旋转曲面面积作如下定义。设 $y(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数．将 $[a, b]$ 的分划记为 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ．如图 12．21（a）所示，从曲线上的点 $M_{i-1}=\left(x_{i-1}, y_{i-1}\right)$ 处作曲线的切线，将它与 $x=x_i$ 的交点记为 $A_i$ ．注意一般来说它与点 $M_i=\left(x_i, y_i\right)$ 不同．对 $i=1, \cdots, n$都这样做。然后将所有直线段 $M_{i-1} A_i$ 围绕 $x$ 旋转一周得到的面积求和。如果当 $\|P\| \rightarrow 0$ 时该和式有极限，则就作为旋转曲面的面积。这实际上就是用许多圆台的侧面积之和去逼近旋转曲面的面积．
 ![图片](/uploads/2025-02/afd601.jpg)
 这里需要知道圆台的侧面积公式．如图 12．21（b）所示，设圆台的上底面是半径 $r$ 的圆，下底面是半径 $r^{\prime}$ 的圆，母线长 $l$ ，则有公式（其证明见底注 ${ }^{(1)}$ ）

$$
S_{\text {圆台侧 }}=\pi l\left(r^{\prime}+r\right) \text {. }
$$

记 $y_{i-1}^{\prime}=y^{\prime}\left(x_{i-1}\right)$ ．在 $M_{i-1} A_i$ 绕 $x$ 轴旋转一周生成的圆台中，$r=y_{i-1}$ ， $r^{\prime}=y_{i-1}+y_{i-1}^{\prime} \Delta x_i, l=\sqrt{1+y_{i-1}^{\prime 2}} \Delta x_i$ ．于是这个圆台的侧面积为

$$
\begin{aligned}
\Delta S_i & =\pi \sqrt{1+y_{i-1}^{\prime 2}} \Delta x_i\left(2 y_{i-1}+y_{i-1}^{\prime} \Delta x_i\right) \\
& =2 \pi y_{i-1} \sqrt{1+y_{i-1}^{\prime 2}} \Delta x_i+\pi y_{i-1}^{\prime} \sqrt{1+y_{i-1}^{\prime 2}} \Delta x_i^2
\end{aligned}
$$

注意其中右边的第二项为增量的二次项．

将上述的右边第一项对 $i$ 从 1 到 $n$ 相加，并令分划的细度趋于 0 ，由于 $y^{\prime}$ 连续，因此就得到

$$
S=\int_a^b 2 \pi y(x) \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} d x .
$$

余下的问题是证明 $\Delta S_i$ 的第二项加起来的极限为 0 ，从而上述积分就是旋转曲面的面积计算公式。

由于每个第二项都是是增量的二次项，因此它们之和可如下估计．由于导函数 $y^{\prime}(x)$ 于 $[a, b]$ 上连续，存在 $M>0$ ，使得 $\left|y^{\prime}(x)\right| \leqslant M \forall x \in[a, b]$ ，于是可以估计出

$$
\begin{aligned}
& \left|\sum_{i=1}^n \pi y_{i-1}^{\prime} \sqrt{1+y_{i-1}^{\prime 2}} \Delta x_i^2\right| \leqslant \pi M \sqrt{1+M^2} \sum_{i=1}^n \Delta x_i^2 \\
& \leqslant \pi M \sqrt{1+M^2}(b-a)\|P\|=o(1)(\|P\| \rightarrow 0)
\end{aligned}
$$

可见 $\sum \Delta S_i$ 的极限确实就是（12．7）中的积分．
利用弧长微分 $d s=\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} d x$ ，可将旋转曲面面积公式（12．7）改记为

$$
S=2 \pi \int_a^b y d s
$$

然后还可以将这个公式再发展一步．这里的问题是如何处理平行于 $y$ 轴的直线段绕 $x$ 轴旋转得到的面积．例如设 $0<c<d$ ，从点 $(a, c)$ 到 $(a, d)$ 的直线段绕 $x$ 轴旋转，则得到一个圆环的面积为 $\pi\left(d^2-c^2\right)$ ．可以看出它等于 $2 \pi \int_c^d y d y$ ．这时的 $d y= d s$ ，因此上述侧面积公式仍然成立。

综合以上分析，就可以对于处于 $x$ 轴上方的任意形状的光滑曲线（包括封闭曲线）绕 $x$ 轴得到的曲面面积（不限于旋转体的侧面积）公式统一为：

$$
S=2 \pi \int_0^l y d s
$$

其中以弧长 $s$ 为自变量，$l$ 是整条曲线的弧长．
注1 在不少教科书中推导旋转曲面面积公式时采用下列方法．首先（在图 12．21（a）中）联接点 $M_{i-1}$ 和 $M_i$ ，然后将直线段 $M_{i-1} M_i$ 围绕 $x$ 轴旋转得到的圆台侧面积对 $i$ 求和，最后将分划的细度趋于 0 时的极限定义为旋转曲面面积．可以证明这个极限与（12．7）相同．

注2 在旋转曲面面积公式方面要注意上述三个公式的共同点是其中弧长微分起核心作用．一个常见错误是在公式（12．8）中将 $d s$ 随意写为 $d x$ ．问题的根源还是对圆台侧面积公式的理解。那里出现的 $l$ 是圆台的母线长度，它与上下底面之间的距离是不同的．（参看关于 $S_{\text {圆台侧 }}$ 的底注中的推导过程．）

例题 12.20 求半径为 $r$ 的球面面积．
解 将球面看成为 $x$ 轴上方的半圆 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ 绕 $x$ 轴旋转得到的旋转曲面，则用公式（12．7）即有

$$
S=2 \pi \int_{-r}^r y \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x=2 \pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}} d x=4 \pi r^2
$$

注 也可用 $s$ 为自变量，这时从 $(r, 0)$ 点开始有 $y=r \sin \frac{s}{r}, l=\pi r$ ，于是可用公式（12．9）作如下计算

$$
S=2 \pi \int_0^{\pi r} y d s=2 \pi \int_0^{\pi r} r \sin \frac{s}{r} d s=\left.2 \pi\left(-r^2 \cos \frac{s}{r}\right)\right|_0 ^{\pi r}=4 \pi r^2
$$

例题12．21 求例题12．19中的救生圈的表面积．用公式（12．9），这时有 $y=$ $R+r \sin \frac{s}{r}$ ，弧长 $l=2 \pi r$ ，于是就可以更为简单地计算如下：

$$
S=2 \pi \int_0^{2 \pi r} y d s=2 \pi \int_0^{2 \pi r}\left(R+r \sin \frac{s}{r}\right) d s=2 \pi R \times 2 \pi r=4 \pi^2 R r
$$

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