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质量、质心、形心

## 12.4 物理应用
从 Riemann 的下列评论就可以看出物理学与微积分的关系，即
＂只有在微积分发明之后，物理学才成为一门科学。＂
这一节我们只能举几个例子。在第三册的多元积分学中还会看到微积分与物理学的更多联系．同时在这一节还要讲两个都以 Guldin ${ }^{(1)}$ 命名的定理。

12．4．1 质量
与体积计算一样，这里只考虑能用一元函数的定积分来计算的情况．这就是质量分布只在某一个方向（例如 $x$ 轴的方向）有变化，而其他方向为均匀分布的情况。

设在 $[a, b]$ 上有质量发布。为了计算其总质量首先要有质量密度的概念。记密度函数为 $\rho(x), a \leqslant x \leqslant b$ ，它是从 $x$ 到 $x+\Delta x$ 上的质量的平均密度 $\frac{\Delta m}{\Delta x}$ 取极限后得到的．于是质量就是 $M=\int_a^b \rho(x) d x$ ．

12．4．2 质心
先从离散情况开始．设平面上有 $n$ 个质点 $p_i\left(x_i, y_i\right)$ ，它们的质量分别为 $m_i$ ， $i=1, \cdots, n$ ，则这个质点系统的质心的坐标可简记为

$$
x_c=\frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}, \quad y_c=\frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}
$$

这里要指出，从质心计算公式可以证明质心所具有的下列特性．若将一个质点系统分成几个子系统，分别计算出它们的质心，并将每个子系统的质量集中在各自的质心，然后再求出整个系统的质心，则结果不变。例如，分成两个子系统时，就可以从下列推导直接看出这个结论成立：

$$
x_c=\frac{\sum m x}{\sum m}=\frac{\sum^{\prime} m x+\sum^{\prime \prime} m x}{\sum^{\prime} m+\sum^{\prime \prime} m}=\frac{M_1 \cdot \frac{\sum^{\prime} m x}{M_1}+M_2 \cdot \frac{\sum^{\prime \prime} m x}{M_2}}{M_1+M_2}
$$

下面我们将多次利用质心的以上特性。
在离散系统的质心公式的基础上，利用微积分就可以推广到质量连续分布的物体的质心计算。但由于目前还只有一元函数的积分知识，因此还是只能解决一维分布情况的质心计算。

设在 $[a, b]$ 上质量的密度函数为 $\rho(x), a \leqslant x \leqslant b$ ，则可以对区间 $[a, b]$ 先作分划，然后在每个子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上将质量近似地记为 $\rho\left(x_i\right) \Delta x_i$（或 $\left.\rho\left(\xi_i\right) \Delta x_i\right)$ ，且将其位置看成集中在 $x_i$ 处，则就可以套用上面的离散分布质点的质心公式，得到
$$
x_c \approx \frac{\sum x_i \rho\left(x_i\right) \Delta x_i}{\sum \rho\left(x_i\right) \Delta x_i}
$$

然后令分划的细度趋于 0 ，就得到公式

$$
x_c=\frac{\int_a^b x \rho(x) d x}{\int_a^b \rho(x) d x}
$$

分母就是总质量．
例题12．22 设在 $[0,1]$ 上分布有密度为 $\rho(x)=h x$ 的质量，则质心坐标为

$$
x_c=\frac{\int_0^1 h x^2 d x}{\int_0^1 h x d x}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}
$$

12．4．3 平面图形的形心
虽然我们目前没有多重积分的知识，不能解决平面图形或几何体的许多问题，但却可以解决平面图形的形心位置计算问题．实际上所谓形心，就是指质量均匀分布情况下的质心位置．这时密度函数为常值函数，因此无论从哪一个方向来看都可以作为一维问题解决。

现在推导形心的计算公式．为简单起见，取密度函数 $\rho \equiv 1$ ．这时曲线的长度和平面图形的面积也就是它们的质量．

如图 12.22 所示，考虑由

$$
\left\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, 0 \leqslant y_1(x) \leqslant y \leqslant y_2(x)\right\}
$$

定义的平面图形。
对 $[a, b]$ 取分划 $P$ ，相应地将平面图形划分为许多平行于 $y$ 轴的细长条。将每一个细长条的质量（即面积）集中到细长条的中心，对于 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上的细长条来说，这个中心的位置近似于 $\left(x_i, \frac{y_1\left(x_i\right)+y_2\left(x_i\right)}{2}\right)$ 。相应的质量近似于 $\left[y_2\left(x_i\right)-y_1\left(x_i\right)\right] \Delta x_i$ ．对于这个离散的质点系统写出它的形心公式，然后令 $P$ 的细度趋于 0 ，这样就得到所求的形心公式：

![图片](/uploads/2025-02/d17af1.jpg)

$$
x_c=\frac{\int_a^b x\left[y_2(x)-y_1(x)\right] d x}{S}, \quad y_c=\frac{\frac{1}{2} \int_a^b\left[y_2^2(x)-y_1^2(x)\right] d x}{S} .
$$

利用形心的纵坐标 $y_c$ 的计算公式就可以得到下列的定理．

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