最后更新: 2025-03-16 10:13 查看: 74 次反馈刷题

关于旋转体的古尔丁 Guldin 定理

## 关于旋转体的 Guldin 定理

定理 12.2 （关于旋转体的 Guldin 定理）平面图形围绕不穿过其内部的轴旋转得到的旋转体体积等于此图形的面积乘以图形形心旋转得到的圆周长．

证 不妨设图形在 $x$ 轴上方，并绕其旋转，则从（12．10）中关于 $y_c$ 的公式得到

$$
2 \pi y_c S=\pi \int_d^b\left[y_2^2(x)-y_1^2(x)\right] d x,
$$

回顾 $\S 12.3 .2$ 中关于旋转体的体积讨论，可以看出上式右边就是平面图形围绕 $x$ 轴旋转得到的旋转体的体积 $V_x$ ．

注 利用上述形心的推导方法可以对于 $V_x$ 给出一个新的计算公式．首先注意到从上述 Guldin 定理同时也得到 $V_y=2 \pi x_c S$ ，这里 $V_y$ 是平面图形围绕 $y$ 旋转得到的旋转体体积。注意到两个体积公式很不相同，又考虑到 $x$ 和 $y$ 的对称性，因此，又可以得到 $V_x$ 的第二个公式：

$$
V_x=2 \pi \int_c^d y s(y) d y
$$

其中假设图 12.22 中的平面图形也可以表示为

$$
\left\{(x, y) \mid c \leqslant y \leqslant d, x_1(y) \leqslant x \leqslant x_2(y)\right\}
$$

然后取 $s(y)=x_2(y)-x_1(y)$ 。容易看出，这个旋转体体积公式也有明显的几何意义，但与 $\S 12.3 .2$ 中的思想完全不同．这里当然有一个问题，即如何从数学上证明上述两个公式确实给出同一个 $V_x$ ．这可以到多元积分学中解决．

例题 12.23 求上半圆 $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant R^2, y \geqslant 0\right\}$ 的形心．
解 由对称性知 $x_c=0$ ．为求 $y_c$ 可以利用关于旋转体体积的 Guldin 定理．由于图形绕 $x$ 轴的旋转体就是半径 $R$ 的球体，因此就有

$$
V=\frac{4}{3} \pi R^3=2 \pi y_c \times \frac{1}{2} \pi R^2=\pi^2 y_c R^2
$$

由此即可得到 $y_c=\frac{4 R}{3 \pi}$ ．
注 这是在体积已知时用 Guldin 定理求形心位置，反之，在形心已知时则可利用 Guldin 定理求体积．例如例题 12.19 （即求救生圈的体积），就可从形心求出体积 $V=\pi r^2 \times 2 \pi R=2 \pi^2 R r^2$ 。

12．4．4 平面曲线的形心
下面是求曲线的形心计算公式，以及相应的 Guldin 定理．
设有密度为常值（于是设 $\rho \equiv 1$ ）的质量分布在一条平面曲线上，这时也称其质心为曲线的形心．将曲线 $\Gamma$ 分成小段，将质量集中在每一段上，乘上坐标后求和，再除以总的质量，也就是曲线长度 $l$ ，最后取极限就得到

$$
x_c=\frac{\int_0^l x(s) d s}{l}, \quad y_c=\frac{\int_0^l y(s) d s}{l}
$$

这时也有相应的 Guldin 定理．
定理 12.3 （关于旋转曲面的 Guldin 定理）平面曲线围绕不与其相交的轴旋转得到的旋转曲面面积等于平面曲线的弧长乘以曲线的形心旋转得到的圆周长．

证 设曲线 $\Gamma$ 处于上半平面，形心为 $\left(x_c, y_c\right)$ ，绕 $x$ 轴旋转，则从（12．13）中关于 $y_c$ 的公式就有

$$
2 \pi y_c l=2 \pi \int_0^l y(s) d s
$$

回顾旋转曲面面积公式（12．9），上式右边就是曲线绕 $x$ 轴旋转生成的曲面面积．
例题 12.24 求上半圆周 $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=R^2, y \geqslant 0\right\}$ 的形心位置．
解 由对称性知 $x_c=0$ ．由于这时的旋转曲面就是球面，曲线长度为 $\pi R$ ，用关于旋转曲面的 Guldin 定理，则有 $2 \pi y_c \times \pi R=4 \pi R^2$ ，因此得到 $y_c=\frac{2 R}{\pi}$ ．

注 同样可以回顾例题 12.21 中关于救生圈表面积的计算，它恰好等于 $2 \pi R \times$ $2 \pi r$ ，这里 $2 \pi R$ 就是形心绕 $x$ 轴一周的长度，而 $2 \pi r$ 就是曲线长度．

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