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数学分析
第五篇一元函数积分学
平面曲线的形心
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2025-03-16 10:14
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平面曲线的形心
## 12.4.4 平面曲线的形心 下面是求曲线的形心计算公式,以及相应的 Guldin 定理. 设有密度为常值(于是设 $\rho \equiv 1$ )的质量分布在一条平面曲线上,这时也称其质心为曲线的形心.将曲线 $\Gamma$ 分成小段,将质量集中在每一段上,乘上坐标后求和,再除以总的质量,也就是曲线长度 $l$ ,最后取极限就得到 $$ x_c=\frac{\int_0^l x(s) d s}{l}, \quad y_c=\frac{\int_0^l y(s) d s}{l} $$ 这时也有相应的 Guldin 定理. 定理 12.3 (关于旋转曲面的 Guldin 定理)平面曲线围绕不与其相交的轴旋转得到的旋转曲面面积等于平面曲线的弧长乘以曲线的形心旋转得到的圆周长. 证 设曲线 $\Gamma$ 处于上半平面,形心为 $\left(x_c, y_c\right)$ ,绕 $x$ 轴旋转,则从(12.13)中关于 $y_c$ 的公式就有 $$ 2 \pi y_c l=2 \pi \int_0^l y(s) d s $$ 回顾旋转曲面面积公式(12.9),上式右边就是曲线绕 $x$ 轴旋转生成的曲面面积. 例题 12.24 求上半圆周 $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=R^2, y \geqslant 0\right\}$ 的形心位置. 解 由对称性知 $x_c=0$ .由于这时的旋转曲面就是球面,曲线长度为 $\pi R$ ,用关于旋转曲面的 Guldin 定理,则有 $2 \pi y_c \times \pi R=4 \pi R^2$ ,因此得到 $y_c=\frac{2 R}{\pi}$ . 注 同样可以回顾例题 12.21 中关于救生圈表面积的计算,它恰好等于 $2 \pi R \times$ $2 \pi r$ ,这里 $2 \pi R$ 就是形心绕 $x$ 轴一周的长度,而 $2 \pi r$ 就是曲线长度.
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