最后更新: 2025-03-16 10:16 查看: 205 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

定积分近似计算

## 12.5.1 矩形法
这就是用矩形面积来逼近曲边梯形面积．从积分第一中值定理知道，当 $f$ 连续时，一定存在一个矩形，它的面积与曲边梯形面积相等（参见图 10．9）．由于中值末知，就用 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)$ 来逼近 $\int_a^b f(x) d x$ ．当然仅仅这样做还不切实用。

改进的办法是对区间 $[a, b]$ 用等距分划，记分划细度 $h=\frac{b-a}{n}, x_i=a+i h, i=0,1, \cdots, n$ ．对每个子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上用上述公式（见图 12．23），就得到

$$
R_n=\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)
$$

![图片](/uploads/2025-02/bbb2e9.jpg)

由于 $R_n$ 是 $f$ 在 $[a, b]$ 上的 Riemann 和，只要 $f \in R[a, b]$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 时其极限就是积分 $\int_a^b f(x) d x$ ．问题是收玫速度如何，这就需要作误差分析．

首先在区间 $[0,1]$ 上研究．设在 $[0,1]$ 上的函数 $F$ 二阶连续可微，在点 $1 / 2$ 处展开得到带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式：

$$
F(t)=F\left(\frac{1}{2}\right)+F^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)\left(t-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} F^{\prime \prime}(\xi)\left(t-\frac{1}{2}\right)^2
$$

然后对 $t$ 从 0 到 1 积分，利用 $t-\frac{1}{2}$ 关于区间中点 $\frac{1}{2}$ 为奇函数，就有
$$
\int_0^1 F(t) d t=F\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} \int_0^1 F^{\prime \prime}(\xi)\left(t-\frac{1}{2}\right)^2 d t
$$

对于右边的第二项，如积分第一中值定理所示，利用第二个因子 $\left(t-\frac{1}{2}\right)^2$ 保号， $F \in C[0,1]$ ，即可知存在 $\eta \in[0,1]$ ，得到

$$
\begin{aligned}
\int_0^1 F(t) d t-F\left(\frac{1}{2}\right) & =\frac{1}{2} F^{\prime \prime}(\eta) \int_0^1\left(t-\frac{1}{2}\right)^2 d t \\
& =\left.\frac{1}{2} F^{\prime \prime}(\eta) \cdot \frac{1}{3}\left(t-\frac{1}{2}\right)^3\right|_0 ^1=\frac{1}{24} F^{\prime \prime}(\eta)
\end{aligned}
$$

下一步，对于 $[a, b]$ 上的二阶连续可微函数 $f(x)$ ，令 $F(t)=f(a+(b-a) t)$ ，即作代换 $\frac{x-a}{b-a}=t$ ，就有 $F^{\prime \prime}(t)=(b-a)^2 f^{\prime \prime}(a+(b-a) t)$ ，于是有 $\xi \in[a, b]$ ，使得

成立

$$
\int_a^b f(x) d x=(b-a) \int_0^1 F(t) d t=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24}(b-a)^3 f^{\prime \prime}(\xi) .
$$

最后，对于 $[a, b]$ 的 $n$ 等距分划，在子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上就有

$$
\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) d x=h f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)+\frac{1}{24} h^3 f^{\prime \prime}\left(\xi_i\right) .
$$

对 $i$ 从 1 到 $n$ 求和，就得到

$$
\int_a^b f(x) d x=R_n+\frac{n h^3}{24}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f^{\prime \prime}\left(\xi_i\right)\right),
$$

其中 $n h^3=\frac{(b-a)^3}{n^2}$ ．从 $f^{\prime \prime} \in C[a, b], \exists \xi \in[a, b]: f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f^{\prime \prime}\left(\xi_i\right)$ ．这样就得到所要的误差估计为

$$
\int_a^b f(x) d x-R_n=\frac{(b-a)^3}{24 n^2} f^{\prime \prime}(\xi)=O\left(\frac{1}{n^2}\right)
$$

## 12.5.2 梯形法

这就是用直角梯形逼近曲边梯形。对于 $[a, b]$ 上的 $f(x)$ ，即用 $\frac{b-a}{2} \cdot[f(a)+f(b)]$ 来逼近 $\int_a^b f(x) d x$ ．

当然在实际使用时也是对于 $[a, b]$ 用等距 $n$ 分划， $h=\frac{b-a}{n}, x_i=a+i h, i=0,1, \cdots, n$ ，然后对每个 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上的曲边梯形用直角梯形代替，得到

$$
T_n=\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \cdot\lef

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