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定积分近似计算

## 12.5.1 矩形法
这就是用矩形面积来逼近曲边梯形面积．从积分第一中值定理知道，当 $f$ 连续时，一定存在一个矩形，它的面积与曲边梯形面积相等（参见图 10．9）．由于中值末知，就用 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)$ 来逼近 $\int_a^b f(x) d x$ ．当然仅仅这样做还不切实用。

改进的办法是对区间 $[a, b]$ 用等距分划，记分划细度 $h=\frac{b-a}{n}, x_i=a+i h, i=0,1, \cdots, n$ ．对每个子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上用上述公式（见图 12．23），就得到

$$
R_n=\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)
$$

![图片](/uploads/2025-02/bbb2e9.jpg)

由于 $R_n$ 是 $f$ 在 $[a, b]$ 上的 Riemann 和，只要 $f \in R[a, b]$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 时其极限就是积分 $\int_a^b f(x) d x$ ．问题是收玫速度如何，这就需要作误差分析．

首先在区间 $[0,1]$ 上研究．设在 $[0,1]$ 上的函数 $F$ 二阶连续可微，在点 $1 / 2$ 处展开得到带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式：

$$
F(t)=F\left(\frac{1}{2}\right)+F^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)\left(t-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} F^{\prime \prime}(\xi)\left(t-\frac{1}{2}\right)^2
$$

然后对 $t$ 从 0 到 1 积分，利用 $t-\frac{1}{2}$ 关于区间中点 $\frac{1}{2}$ 为奇函数，就有
$$
\int_0^1 F(t) d t=F\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} \int_0^1 F^{\prime \prime}(\xi)\left(t-\frac{1}{2}\right)^2 d t
$$

对于右边的第二项，如积分第一中值定理所示，利用第二个因子 $\left(t-\frac{1}{2}\right)^2$ 保号， $F \in C[0,1]$ ，即可知存在 $\eta \in[0,1]$ ，得到

$$
\begin{aligned}
\int_0^1 F(t) d t-F\left(\frac{1}{2}\right) & =\frac{1}{2} F^{\prime \prime}(\eta) \int_0^1\left(t-\frac{1}{2}\right)^2 d t \\
& =\left.\frac{1}{2} F^{\prime \prime}(\eta) \cdot \frac{1}{3}\left(t-\frac{1}{2}\right)^3\right|_0 ^1=\frac{1}{24} F^{\prime \prime}(\eta)
\end{aligned}
$$

下一步，对于 $[a, b]$ 上的二阶连续可微函数 $f(x)$ ，令 $F(t)=f(a+(b-a) t)$ ，即作代换 $\frac{x-a}{b-a}=t$ ，就有 $F^{\prime \prime}(t)=(b-a)^2 f^{\prime \prime}(a+(b-a) t)$ ，于是有 $\xi \in[a, b]$ ，使得

成立

$$
\int_a^b f(x) d x=(b-a) \int_0^1 F(t) d t=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24}(b-a)^3 f^{\prime \prime}(\xi) .
$$

最后，对于 $[a, b]$ 的 $n$ 等距分划，在子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上就有

$$
\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) d x=h f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)+\frac{1}{24} h^3 f^{\prime \prime}\left(\xi_i\right) .
$$

对 $i$ 从 1 到 $n$ 求和，就得到

$$
\int_a^b f(x) d x=R_n+\frac{n h^3}{24}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f^{\prime \prime}\left(\xi_i\right)\right),
$$

其中 $n h^3=\frac{(b-a)^3}{n^2}$ ．从 $f^{\prime \prime} \in C[a, b], \exists \xi \in[a, b]: f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f^{\prime \prime}\left(\xi_i\right)$ ．这样就得到所要的误差估计为

$$
\int_a^b f(x) d x-R_n=\frac{(b-a)^3}{24 n^2} f^{\prime \prime}(\xi)=O\left(\frac{1}{n^2}\right)
$$

## 12.5.2 梯形法

这就是用直角梯形逼近曲边梯形。对于 $[a, b]$ 上的 $f(x)$ ，即用 $\frac{b-a}{2} \cdot[f(a)+f(b)]$ 来逼近 $\int_a^b f(x) d x$ ．

当然在实际使用时也是对于 $[a, b]$ 用等距 $n$ 分划， $h=\frac{b-a}{n}, x_i=a+i h, i=0,1, \cdots, n$ ，然后对每个 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上的曲边梯形用直角梯形代替，得到

$$
T_n=\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \cdot\left[f\left(x_{i-1}\right)+f\left(x_i\right)\right] .
$$

实际上这也可以理解为用联接所有 $\left(x_i, f\left(x_i\right)\right)(i=$ $0,1, \cdots, n)$ 的折线来逼近 $y=f(x)$ ，而 $T_n$ 就是由此

![图片](/uploads/2025-02/45701f.jpg)
 
图 12．24：梯形公式示意图折线生成的曲边梯形的面积，因此也称为折线公式．

下面同样进行误差分析，我们看是否比矩形公式有改进．
先在 $[0,1]$ 上证明，若 $F$ 在 $[0,1]$ 上二阶连续可微，则存在 $\xi \in[0,1]$ ，使得

$$
\int_0^1 F(t) d t=\frac{1}{2}[F(0)+F(1)]-\frac{1}{12} F^{\prime \prime}(\xi)
$$

证明方法是作辅助函数

$$
\varphi(x)=F(x)-[F(0)+x(F(1)-F(0))] .
$$

这时 $\varphi^{\prime \prime}(x)=F^{\prime \prime}(x), \varphi(0)=\varphi(1)=0$ ．于是有

$$
\int_0^1 \varphi(x) d x=\int_0^1 F(x) d x-\frac{1}{2}[F(0)+F(1)] .
$$

另一方面有

$$
\begin{aligned}
\int_0^1 \varphi(x) d x & =\int_0^1 \varphi(x) d\left(x-\frac{1}{2}\right)=\left.\varphi(x)\left(x-\frac{1}{2}\right)\right|_0 ^1-\int_0^1 \varphi^{\prime}(x)\left(x-\frac{1}{2}\right) d x \\
& =-\int_0^1 \varphi^{\prime}(x) d\left(\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2} x\right) \\
& =-\left.\varphi^{\prime}(x)\left(\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2} x\right)\right|_0 ^1+\int_0^1 \varphi^{\prime \prime}(x)\left(\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2} x\right) d x \\
& =\frac{1}{2} F^{\prime \prime}(\xi)\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{12} F^{\prime \prime}(\xi)
\end{aligned}
$$

以此为基础就可以如前面一样得到以下结果：

$$
\begin{aligned}
\int_a^b f(x) d x & =\frac{1}{2}(b-a)[f(a)+f(b)]-\frac{1}{12}(b-a)^3 f^{\prime \prime}(\zeta), \\
\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) d x & =\frac{h}{2}\left[f\left(x_{i-1}\right)+f\left(x_i\right)\right]-\frac{h^3}{12} f^{\prime \prime}\left(\zeta_i\right), i=1, \cdots, n,
\end{aligned}
$$

$$
\int_a^b f(x) d x-T_n=-\frac{1}{12} \cdot \frac{(b-a)^3}{n^2} f^{\prime \prime}(\zeta)=O\left(\frac{1}{n^2}\right)
$$

由此可见，梯形法与矩形法没有多大差别．

## 12.5.3 抛物线法
下面介绍抛物线公式，也称为辛普森 $\operatorname{Simpson}$ 公式。
对于 $[a, b]$ 上的 $f(x)$ ，用经过其图像上三点 $(a, f(a)),\left(\frac{a+b}{2}, f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right),(b, f(b))$ 的二次多项式（即抛物线）来代替 $f(x)$ ，这就是拋物线方法的思想．回顾前面的矩形公式，就是用经过点 $\left(\frac{a+b}{2}, f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)$ 的常值函数（即 0 次多项式）代替 $f(x)$ ，而梯形公式就是用经过两点 $(a, f(a)),(b, f(b))$ 的一次多项式代替 $f(x)$ 。

当然还是需要对 $[a, b]$ 作分划．由于要三点决定二次三项式，因此采取等距 $2 n$ 分划，即 $h=(b-a) / 2 n, x_i=$

![图片](/uploads/2025-02/22ab24.jpg)
 $a+i h, i=0,1, \cdots, 2 n$ ，然后在每个子区间 $\left[x_{2 i-2}, x_{2 i}\right]$上用抛物线方法．根据下面的一个引理，可以证明在抛物线下的面积为：

$$
\frac{1}{6}\left[f\left(x_{2 i-2}\right)+4 f\left(x_{2 i-1}\right)+f\left(x_{2 i}\right)\right] \times \frac{b-a}{n},
$$

然后对 $i$ 从 1 加到 $n$ ，就得到

$$
S_{2 n}=\frac{b-a}{6 n} \sum_{i=1}^n\left[f\left(x_{2 i-2}\right)+4 f\left(x_{2 i-1}\right)+f\left(x_{2 i}\right)\right] .
$$

为了解释上面公式中的系数 $1 / 6,4 / 6,1 / 6$ 是如何来的，我们先证明下面的一个简单而有趣的引理．它使得我们不必求出图 12.25 中的抛物线方程就可以直接写出
抛物线下的面积．
引理 设 $f$ 是不超过 3 次的多项式，则有

$$
\int_a^b f(x) d x=\frac{1}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right](b-a) .
$$

证 不妨只对 $[0,1]$ 上的 $f(t)$ 写出证明，然后用代换 $x=a+(b-a) t$ 得到一般情况的结论．又由于两边关于 $F$ 都是线性运算因此只需要对于 $f(t)$ 为 $1, t, t^2, t^3$ 这 4 个单项式来检验等式成立就够了。而这是容易计算的：

$$
\begin{aligned}
\int_0^1 d t & =\frac{1}{6}(1+4+1)=1 \\
\int_0^1 t d t & =\frac{1}{6}\left(0+4 \cdot \frac{1}{2}+1\right)=\frac{1}{2} \\
\int_0^1 t^2 d t & =\frac{1}{6}\left(0+4 \cdot \frac{1}{4}+1\right)=\frac{1}{3} \\
\int_0^1 t^3 d t & =\frac{1}{6}\left(0+4 \cdot \frac{1}{8}+1\right)=\frac{1}{4} .
\end{aligned}
$$

由此可见引理为真．
注 这个引理中的公式有一个名称：＂万能公式＂，它可以用于求许多几何体的体积。使用方法是求出上底面，中截面和下底面的面积，乘以权重系数 $1,4,1$ 后相加，再乘高除 6 即可．例如，对于半径 $r$ 的球，则有

$$
V=\frac{2 r}{6}\left(0+4 \cdot \pi r^2+0\right)=\frac{4}{3} \pi r^3
$$

此外，万能公式还可以用于计算棱柱，棱雉，棱台，圆柱，圆雉和圆台的体积．它还可以用于计算平面图形的面积，例如平行四边形，梯形和三角形等．但可惜对于圆面积则不能给出准确结果。

由于抛物线公式的误差估计比较复杂，将它专门列为下一小节．

## 12.5.4 抛物线公式的误差估计
如同对于矩形公式和梯形公式的误差估计那样，主要工作在于证明下面定理中的结论，然后就可以推到一般．

定理 12.4 设 $f \in C^4[-1,1]$ ，则存在 $\xi \in[-1,1]$ ，使得成立

$$
\int_{-1}^1 f(x) d x=\frac{1}{3}[f(-1)+4 f(0)+f(1)]-\frac{f^{(4)}(\xi)}{90} .
$$

证 分以下几步来证明．
（i）引入二次多项式 $p(x)$ ，使得 $p(-1)=f(-1), p(0)=f(0), p(1)=f(1)$ ，这时从引理有

$$
\int_{-1}^1 p(x) d x=\frac{1}{3}[f(-1)+4 f(0)+f(1)] .
$$
然后构造辅助函数 ${ }^{(1)}$

$$
\varphi(x)=f(x)-p(x)+\left(f^{\prime}(0)-p^{\prime}(0)\right)\left(x^3-x\right)
$$

则 $\varphi(-1)=\varphi(0)=\varphi(1)=\varphi^{\prime}(0)=0$ ．且 $\varphi^{(4)}(x)=f^{(4)}(x)$ ．这时有

$$
\int_{-1}^1[f(x)-p(x)] d x=\int_{-1}^1 \varphi(x) d x .
$$

于是问题归结为如何估计右边的积分．
（ii）利用微分中值定理应用中的待定常数法（参见第一册 242 页底注），我们来证明：对每个 $x \in[-1,1]$ ，存在 $\zeta \in(-1,1)$ ，使得

$$
\varphi(x)=\frac{f^{(4)}(\zeta)}{4!} \cdot x^2\left(x^2-1\right)
$$

若 $x= \pm 1,0$ ，则 $\zeta$ 可任取．否则，令

$$
\lambda=4!\cdot \frac{\varphi(x)}{x^2\left(x^2-1\right)}
$$

定义辅助函数

$$
F(t)=\varphi(t)-\lambda \cdot \frac{t^2\left(t^2-1\right)}{4!}, \quad t \in[-1,1],
$$

这时有 $F(0)=F(-1)=F(1)=F(x)=0, F^{\prime}(0)=0$ ．反复应用 Rolle 定理可知存在 $\zeta \in(-1,1)$ ，使得 $F^{(4)}(\zeta)=0$ ，即 $\varphi^{(4)}(\zeta)=\lambda$ ，这就是（12．16）．
（iii）将（12．16）代入（12．15）的右边，并利用导函数 $f^{(4)} \in C[-1,1]$ ，就可以如积分第一中值定理所示存在 $\xi \in[-1,1]$ ，使得成立

$$
\begin{aligned}
\int_{-1}^1[f(x)-p(x)] d x & =\int_{-1}^1 \varphi(x) d x \\
& =\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!} \int_{-1}^1 x^2\left(x^2-1\right) d x \\
& =-\frac{f^{(4)}(\xi)}{90} .
\end{aligned}
$$

下一步是考虑一般的区间 $[a, b]$ ．作代换 $x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2} t$ ，就有

$$
\begin{aligned}
\int_a^b f(x) d x & =\frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2} t\right) d t \\
& =\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]-\frac{f^{(4)}(\xi)}{90} \cdot\left(\frac{b-a}{2}\right)^5 .
\end{aligned}
$$

这样就可以对于前面所作的等距 $2 n$ 分划，即 $h=(b-a) / 2 n, x_i=a+i h$ ， $i=0,1, \cdots, 2 n$ ，对 $i=0,1, \cdots, n-1$ 有
$$
\int_{x_{2 i}}^{x_{2 i+2}} f(x) d x=\frac{1}{6}\left[f\left(x_{2 i}\right)+4 f\left(x_{2 i+1}\right)+f\left(x_{2 i+2}\right)\right] \times \frac{b-a}{n}+r_i
$$

其中

$$
r_i=-\frac{f^{(4)}\left(\xi_i\right)}{90} \cdot\left(\frac{b-a}{2 n}\right)^5
$$

对于 $i$ 求和后就有误差估计为

$$
\begin{aligned}
r & =\int_a^b f(x) d x-S_{2 n} \\
& =r_0+r_1+\cdots+r_{n-1} \\
& =-\frac{1}{90}\left[f^{(4)}\left(\xi_0\right)+\cdots+f^{(4)}\left(\xi_{n-1}\right)\right] \cdot\left(\frac{b-a}{2 n}\right)^5
\end{aligned}
$$

最后再利用 $f^{(4)}$ 的介值性，就存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得

$$
r=-\frac{1}{90} \cdot n f^{(4)}(\xi) \cdot\left(\frac{b-a}{2 n}\right)^5=-\frac{f^{(4)}(\xi)(b-a)^5}{4!120 n^4}=O\left(\frac{1}{n^4}\right)
$$

由此可见，抛物线法要比矩形法和梯形法好得多，是一种比较实用的数值积分方法．在有的计算器上的积分计算就是用这种方法来编制程序的．

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