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求积高斯法

## 12.5.5 Gauss 求积法
高斯Gauss求积法的思想与前面的矩形法，梯形法和抛物线法不同，但与上一小节中的引理却有相似之处。它的目标是要求公式对于所有不超过某次的多项式都能够提供精确结果。不同之处在于除了要选择每一项的系数之外，同时还考虑在什么点上计算被积函数的值．

这里只介绍 Gauss 求积法的一个特例。分析表明，对于不超过 3 次的多项式，只要计算两个点上的值就够了。设在 $[-1,1]$ 上对于所有不超过 3 次多项式要求精确成立以下求积公式：

$$
\int_{-1}^1 f(t) d t=w_1 f\left(t_1\right)+w_2 f\left(t_2\right)
$$

问：如何取 $w_1, w_2, t_1, t_2$ ．
与引理的证明方法相同，用 $f$ 为 $1, t, t^2, t^3$ 代入，得到方程

$$
\begin{array}{cl}
2=w_1+w_2, & 0=w_1 t_1+w_2 t_2 \\
\frac{2}{3}=w_1 t_1^2+w_2 t_2^2, & 0=w_1 t_1^3+w_2 t_2^3
\end{array}
$$

从右边两个方程可推出 $t_1=-t_2, w_1=w_2$ ．再联合第一个方程可见 $w_1=w_2=1$ ．最后求出 $t_1^2=t_2^2=\frac{1}{3}$ ．这样就得到 Gauss 公式：
$$
\int_{-1}^1 f(t) d t=f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) .
$$

若令 $x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2} t$ ，则当 $t$ 从 -1 到 1 时，$x$ 就从 $a$ 到 $b$ ．于是就有

$$
\begin{aligned}
\int_a^b f(x) d x & =\int_{-1}^1 f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2} t\right) \cdot \frac{b-a}{2} d t \\
& =\frac{b-a}{2}\left[f\left(\frac{a+b}{2}-\frac{b-a}{2 \sqrt{3}}\right)+f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2 \sqrt{3}}\right)\right],
\end{aligned}
$$

它对于所有不超过 3 次的多项式给出精确结果。
关于 Gauss 求积法的一般性介绍及其误差分析可以在计算数学的书中找到．

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