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沃利斯公式Wallis 公式与斯特林公式Stirling 公式

## 12.6.1 Wallis 公式
出发点是定积分 $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^n x d x$（见例题 10．33）．已知有

$$
I_n= \begin{cases}\frac{(2 k-1)!!}{(2 k)!!} \cdot \frac{\pi}{2}, & n=2 k \\ \frac{(2 k)!!}{(2 k+1)!!}, & n=2 k+1\end{cases}
$$

这里对 $n$ 为奇数和偶数的公式很不一样，似乎很奇怪．但可以证明

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{I_{2 n+1}}{I_{2 n}}=1  ...(12.17)
$$

下面会看到这就是 Wallis 公式。
  从 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的不等式

$$
\begin{aligned}
& \qquad \sin ^{2 n+2} x \leqslant \sin ^{2 n+1} x \leqslant \sin ^{2 n} x
\end{aligned}
$$

出发，得到 $I_{2 n+2}<I_{2 n+1}<I_{2 n}$ ．由此就有

$$
I_{2 n+2}=\frac{2 n+1}{2 n+2} I_{2 n}<I_{2 n+1}<I_{2 n}
$$

除以 $I_{2 n}$ ，并令 $n \rightarrow \infty$ ，用夹逼定理就得到（12．17）．
将（12．17）中的 $I_{2 n}, I_{2 n+1}$ 用前面的定积分结果代入，就得到 Wallis 公式．

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n+1} \cdot\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^2 \cdot \frac{2}{\pi}=1 ...(12.18)
$$

注意：Wallis 公式可以有多种形式出现．例如以下几个都是 Wallis 公式，可以根据不同场合选用：

$$
\begin{aligned}
\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!} & \sim \sqrt{\pi n} \\
I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x & \sim \sqrt{\frac{\pi}{2 n}} \\
C_{2 n}^n=\frac{(2 n)!}{(n!)^2} & \sim \frac{2^{2 n}}{\sqrt{\pi n}}
\end{aligned}
$$

## 12.6.2 Stirling 公式
在过去已经有关于 $n!$ 的许多结果．从无穷大量来看，已经知道对于任何 $a>1$ ，有 $a^n \ll n!\ll n^n$ ．（见例题 4.20 和其中所引第二章中的练习题．）Stirling 公式则给出了 $n!$ 的确切描述，即

$$
n!\sim\left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2 \pi n}
$$

Stirling 公式的证明 从 $\frac{n^n}{n!}$ 的下列分解开始：

$$
\frac{n^n}{n!}=\frac{n^{n-1}}{(n-1)!}=\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \cdots\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}
$$

取对数，得到

$$
n \ln n-\ln n!=\sum_{k=1}^{n-1} k \ln \left(1+\frac{1}{k}\right)
$$

利用对数函数 $f(x)=\ln (1+x)$ 的带 Lagrange 型余项的 Maclaurin 展开式，从 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}, f^{\prime \prime}(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}, f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{2}{(1+x)^3}$ ，得到

$$
\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3(1+\theta x)^3} \quad(0<\theta<1)
$$

其中的 $\theta$ 与 $x$ 有关．注意：当 $x>0$ 时 $1+\theta x>1$ ．
对于 $x=\frac{1}{k}$ ，将与之对应的 $\frac{1}{(1+\theta / k)^3}$ 记为 $\theta_k \in(0,1)$ ，就有

$$
\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{k}-\frac{1}{2 k^2}+\frac{\theta_k}{3 k^3} \quad\left(0<\theta_k<1\right)
$$

令 $k=1, \cdots, n-1$ ，并将它们代入（12．23）就得到

$$
\begin{aligned}
n \ln n-\ln n! & =\sum_{k=1}^{n-1}\left(1-\frac{1}{2 k}+\frac{\theta_k}{3 k^2}\right) \\
& =n-1-\frac{1}{2} \ln n-\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n\right)+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\theta_k}{3 k^2}
\end{aligned}
$$

利用第二章中关于 Euler 常数的例题 2.29 ，并参考例题 2.41 ，可见上式最后两项当 $n \rightarrow \infty$ 时都收玫．这样就得到
$$
\ln n!-n \ln n+n-\frac{1}{2} \ln n=C+o(1)
$$

再改写为

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{n}}=e^C=S>0
$$

余下的问题就是计算出极限 $S$ 的数值．用 Wallis 公式即可解决如下：

$$
\begin{aligned}
\sqrt{\pi} & =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!\sqrt{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{2 n}(n!)^2}{(2 n)!\sqrt{n}}(\text { 下面利用等价量代换方法 }) \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{2 n}\left[S\left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{n}\right]^2}{S\left(\frac{2 n}{e}\right)^{2 n} \sqrt{2 n} \sqrt{n}}=\frac{S}{\sqrt{2}},
\end{aligned}
$$

因此 $S=\sqrt{2 \pi}$ ．
注 例题 2.31 中的 $\sqrt[n]{n!} \sim \frac{n}{ e }$ 可以从 Stirling 公式推出，可以说是 Stirling 公式的弱形式。

> 斯特林公式应用见  https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1877

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