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从开普勒三大定律到万有引力定律

## 从开普勒三大定律到万有引力定律
本节中我们介绍微积分在科学史上的第一次有重大意义的应用，这就是如何从 开普勒Kepler的[行星运动三大定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=974)通过微积分推导出牛顿的[万有引力定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=975)。

这项研究是由牛顿Newton完成的，并于1687年发表于他的划时代著作《自然哲学的数学原理》中。

>由于Newton那个时代的微积分在当时是用几何语言表达的，部分叫法也和今天不太相同，不易理解，为了和现代微积分进行同步，下面的讲述对其用现代语言来进行讲解。

从 Kepler 关于行星运动的第一定律开始。

**Kepler第一定律** 行星绕太阳的运动轨迹是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上．

容易理解在这里采用直角坐标下的标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 是不合适的．我们将太阳（作为一个质点）的位置取为原点，将[椭圆用极坐标方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2456)表示为

$$
r=\dfrac{p}{1-\varepsilon \cos \theta}  ...(N1)
$$

其中设椭圆的两个半轴长为 $0<b<a$ ，偏心率 $\varepsilon=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ ，焦参数 $p=\frac{b^2}{a}$ ．
然而方程（N1）还只是行星运动的轨迹，行星在椭圆上的真实运动是由第二定律来描述的．这就是

**Kepler第二定律（等面积定律）** 从太阳到行星的联线在相等的时间内所扫过的面积相等。

如何揭示在这条定律背后的深刻含义，是一个极为关键的问题。Newton 用他特有的方法发现上述第二定律就表明太阳对行星的作用为向心的引力。下面我们用微积分来做。

为此首先需要以时间 $t$ 为参数来描述平面上的曲线运动．采用极坐标并写为向量值函数

$$
r (t)=r(t) \cos \theta(t) i +r(t) \sin \theta(t) j
$$

其中右方的 $r(t)$ 和 $\theta(t)$ 都是时间 $t$ 的标量函数．将 $r (t)$ 对 $t$ 求导两次，得到加速度向量为

$$
\begin{aligned}
a (t)=\frac{d^2 r }{d t^2}= & \left(\ddot{r} \cos \theta-2 \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta-r \dot{\theta}^2 \cos \theta-r \ddot{\theta} \sin \theta\right) i \\
& +\left(\ddot{r} \sin \theta+2 \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta-r \dot{\theta}^2 \sin \theta+r \ddot{\theta} \cos \theta\right) j
\end{aligned}
$$

这个表达式看上去比较复杂，但很容易简化．为此引入两个单位向量，即矢径方向的单位向量和与之正交的单位向量，

$$
e _r=\cos \theta i +\sin \theta j , \quad e _n

其他版本
【高中物理】开普勒三大定律【高中数学】椭圆的定义与标准方程【高中物理】万有引力定律

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