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从开普勒三大定律到万有引力定律

## 从开普勒三大定律到万有引力定律
本节中我们介绍微积分在科学史上的第一次有重大意义的应用，这就是如何从 开普勒Kepler的[行星运动三大定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=974)通过微积分推导出牛顿的[万有引力定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=975)。

这项研究是由牛顿Newton完成的，并于1687年发表于他的划时代著作《自然哲学的数学原理》中。

>由于Newton那个时代的微积分在当时是用几何语言表达的，部分叫法也和今天不太相同，不易理解，为了和现代微积分进行同步，下面的讲述对其用现代语言来进行讲解。

从 Kepler 关于行星运动的第一定律开始。

**Kepler第一定律** 行星绕太阳的运动轨迹是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上．

容易理解在这里采用直角坐标下的标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 是不合适的．我们将太阳（作为一个质点）的位置取为原点，将[椭圆用极坐标方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2456)表示为

$$
r=\dfrac{p}{1-\varepsilon \cos \theta}  ...(N1)
$$

其中设椭圆的两个半轴长为 $0<b<a$ ，偏心率 $\varepsilon=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ ，焦参数 $p=\frac{b^2}{a}$ ．
然而方程（N1）还只是行星运动的轨迹，行星在椭圆上的真实运动是由第二定律来描述的．这就是

**Kepler第二定律（等面积定律）** 从太阳到行星的联线在相等的时间内所扫过的面积相等。

如何揭示在这条定律背后的深刻含义，是一个极为关键的问题。Newton 用他特有的方法发现上述第二定律就表明太阳对行星的作用为向心的引力。下面我们用微积分来做。

为此首先需要以时间 $t$ 为参数来描述平面上的曲线运动．采用极坐标并写为向量值函数

$$
r (t)=r(t) \cos \theta(t) i +r(t) \sin \theta(t) j
$$

其中右方的 $r(t)$ 和 $\theta(t)$ 都是时间 $t$ 的标量函数．将 $r (t)$ 对 $t$ 求导两次，得到加速度向量为

$$
\begin{aligned}
a (t)=\frac{d^2 r }{d t^2}= & \left(\ddot{r} \cos \theta-2 \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta-r \dot{\theta}^2 \cos \theta-r \ddot{\theta} \sin \theta\right) i \\
& +\left(\ddot{r} \sin \theta+2 \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta-r \dot{\theta}^2 \sin \theta+r \ddot{\theta} \cos \theta\right) j
\end{aligned}
$$

这个表达式看上去比较复杂，但很容易简化．为此引入两个单位向量，即矢径方向的单位向量和与之正交的单位向量，

$$
e _r=\cos \theta i +\sin \theta j , \quad e _n=-\sin \theta i +\cos \theta j
$$

从而就可以将上述加速度向量表示为

$$
a (t)=\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^2\right) e _r+(2 \dot{r} \dot{\theta}+r \ddot{\theta}) e _n  ...(N2)
$$

现在回顾 Kepler 第二定律，即从太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等。记矢径从角度为零开始到角度为 $\theta$ 时所扫过的面积为 $A(\theta)$ ，根据极坐标下的面积公式有

$$
A(\theta)=\frac{1}{2} \int_0^\theta r^2(\tau) d \tau
$$

根据等面积定律，将上式对 $t$ 求导应当为常数．用求导的链式法则得到

$$
\frac{d A}{d t}=\frac{d A}{d \theta} \cdot \frac{d \theta}{d t}=\frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}=\text { 常数. }  ...(N3)
$$

对最后一个等式再求导一次，将常数消去，并约去一个因子 $r$ ，就得到

$$
\dot{r} \dot{\theta}+\frac{1}{2} r \ddot{\theta}=0  ...(N4)
$$

将这个关系代入加速度公式（N2）中，就得到

$$
a (t)=\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^2\right) e _r
$$

这样就证明了加速度 $a$ 与矢径 $r$ 的方向共线．

应用 Newton 的力学第二定律，可见太阳对行星的作用力为

$$
F =m a =m\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^2\right) e _r . ...(N5)
$$

下面的问题就是要确定（N5）中系数 $\ddot{r}-r \dot{\theta}^2$ 的符号和大小与什么有关．为此先将椭圆的极坐标方程（N1）改写为

$$
p=r(1-\varepsilon \cos \theta)
$$

求导两次得到

$$
0=\ddot{r}(1-\varepsilon \cos \theta)+2 \varepsilon \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta+r \varepsilon \dot{\theta}^2 \cos \theta+r \varepsilon \ddot{\theta} \sin \theta .
$$

利用关系式（N4）可见上式右边第二项与第四项之和为 0 ，因此得到

$$
\ddot{r}=-\frac{r \varepsilon \dot{\theta}^2 \cos \theta}{1-\varepsilon \cos \theta}
$$

这样就可以计算出

$$
\begin{aligned}
\ddot{r}-r \dot{\theta}^2 & =\frac{-r \varepsilon \dot{\theta}^2 \cos \theta-r \dot{\theta}^2+r \varepsilon \dot{\theta}^2 \cos \theta}{1-\varepsilon \cos \theta}=-\frac{r \dot{\theta}^2}{1-\varepsilon \cos \theta} \\
& =-\frac{r^2 \dot{\theta}^2}{p}=-\frac{a}{b^2} r^2 \dot{\theta}^2
\end{aligned}
$$

将这个结果代入力 $F$ 的表达式（N5）中，得到

$$
\boldsymbol{F} =-\frac{m a}{b^2} r^2 \dot{\theta}^2 e _r
$$

由此可见太阳对于行星的作用力是向心力。为了看出右边的系数与什么有关，再次利用（N3），即 $r^2 \dot{\theta}=$ 常数，就可以将力 $F$ 的上述表达式改写为

$$
F =-\frac{m a}{b^2 r^2}\left(r^2 \dot{\theta}\right)^2 e _r=-\frac{m}{r^2} \cdot \frac{a}{b^2}\left(r^2 \dot{\theta}\right)^2 e _r  ...(N6)
$$

由此可见，行星在轨道上所受的引力确实与距离平方成反比．但其中的比例常数由什么决定？它是否与行星有关？到此还不清楚．

这时 Kepler 第三定律就起着不可替代的作用了．

**Kepler第三定律** 行星绕太阳一周所用的时间的平方与行星到太阳的平均距离的三次方成正比。

根据 Kepler 第一定律可见，这里的平均距离就是椭圆的长半轴 $a$ ，于是就可以写出 Kepler 第三定律的数学形式为

$$
\frac{T_1^2}{a_1^3}=\frac{T_2^2}{a_2^3}=\cdots=k  ...(N7)
$$

其中 $T_i$ 和 $a_i$ 是第 $i$ 个行星的周期和长半轴，$k$ 在太阳系内为常数．
利用椭圆的面积 $A=\pi a b$ ，又已知 $\frac{ d A}{d t}=\frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}= const$ ，就可以计算出周期为

$$
T=\frac{\pi a b}{\frac{d A}{d t}}=\frac{\pi a b}{\frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}}
$$

代入（N7）式，得到

$$
k=\frac{T^2}{a^3}=\frac{\pi^2 a^2 b^2}{\frac{1}{4}\left(r^2 \dot{\theta}\right)^2} \cdot \frac{1}{a^3}=\frac{4 \pi^2 b^2}{a\left(r^2 \dot{\theta}\right)^2} . ...(N8)
$$

将这些结果代入力 $F$ 的表达式（N6）中，就得到：

$$
\begin{aligned}
F & =-m\left(\frac{a}{b^2}\left(r^2 \dot{\theta}\right)^2\right) \frac{1}{r^2} e _r \\
& =-m \cdot \frac{4 \pi^2}{k} \cdot \frac{1}{r^2} e _r .
\end{aligned}   ...(N9)
$$

于是就证明了在行星绕太阳的运动中太阳对行星的作用力为向心力，其大小与距离平方成反比，其中的系数与行星的质量成正比，这与我们所知的万有引力定律已经比较接近了。

Newton 又利用他最富有独创性的力学运动第三定律，即**作用力与反作用力定律**，看出在太阳吸引行星的同时，行星也一定以大小相等的力吸引太阳。既然这个力与行星的质量 $m$ 成正比，那麼它也应当同太阳的质量 $M$ 成正比。这样就从（N9）得到了为我们所熟悉的形式

$$
F =-\frac{G M m}{r^2} e _r  ...(N10)
$$

其中 $G$ 称为万有引力常数。

反过来 Newton 又从上述引力定律推导出 Kepler 的三个行星运动定律，这样就将 Kepler 从无数次天文观测总结出来的经验定律上升成为有严格数学基础的科学理论．Newton 又用所得的引力定律于地月运动和地面上物体的运动等一系列问题，从而使他确信（N10）是一条普适的自然规律。

Newton 的这项工作宣告了 Copernicus 日心说的完全胜利。在这以前不仅宗教界强烈反对日心说，就是在科学界中也少有像 Kepler 那样的坚定的支持者。在 Newton 的工作之后情况完全改观。没有任何有理智的人再反对日心说。这是因为这个学说有了微积分的支持，它是可以用数学来证明的！人类进入了理性时代．

注：本文摘自谢惠民《数学分析讲义》2008版，略有改动。

其他版本
【高中物理】万有引力定律【高中物理】开普勒三大定律【高中数学】椭圆的定义与标准方程

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