最后更新: 2025-04-14 19:59 查看: 118 次反馈刷题

二面角

## 二面角
### 定义
一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分, 每一部分叫作半平面 (或射面）。

一条直线和过这条直线引两个半平面所组成的图形叫作二面角 (如图 1.64),这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面。棱为 $\ell$, 面为 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的二面角表示作 $\pi_1-\ell-\pi_2$, 也可简记作 $\pi_1 \ell \pi_2$.

在二面角 $\alpha-\ell-\beta$ 中（如图1.65）。
在棱 $\ell$ 上任取两点 $O$ 和 $O^{\prime}$, 过 $O$ 和 $O^{\prime}$ 在平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 内分别引射线 $O A 、 O A^{\prime} 、 O B 、 O B^{\prime}$ 都与 $\ell$ 垂直, 则 $O A / / O A^{\prime}, O B / / O B^{\prime}$, 则 $\angle A O B=\angle A^{\prime} O^{\prime} B^{\prime}$. 因此, 过二面角的棱上任一点, 在每一面内引棱的垂线,这样两条垂线的夹角都相等, 与顶点在棱上的位置无关。
 ![图片](/uploads/2024-11/ab4681.jpg)
 
 ### 定义
以二面棱上任意一点为端点, 在它的两个面内分别作**垂直**于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。在图 1.65 中 $\angle A O B$ 就是二面角 $\alpha-\ell-\beta$ 的平面角。

平面角是直角的二面角叫作直二面角．
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．若平面 $\alpha, \beta$ 互相垂直，则记作 $\alpha \perp \beta$ ．

在画两个垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的坚边画成与表示水平平面的平行四边形的横边垂直（如图 4．4－15）．
 ![图片](/uploads/2025-02/c1ff57.jpg)

`例` 已知: 如图 1.67, 自二面角 $P-A C-Q$ 的棱上一点 $A$ 在面 $P$ 内引一条射线 $A B$, 和棱 $A C$ 成 $45^{\circ}$ 角, 和另一个面 $Q$ 成 $30^{\circ}$ 角, 求二面角 $P-A C-Q$的度数。
 ![图片](/uploads/2024-11/5ddc4c.jpg)

解: 自射线 $A B$ 上一点 $B$ 向平面 $Q$ 作垂线 $B O$, 设其为长 $a, O$ 为垂足, 连结 $O A$. 则 $\angle B A O$ 为 $A B$ 与平面 $Q$ 所成之角, 等于 $30^{\circ}$.

在直角 $\triangle A O B$ 中, $B O=a$, 所以 $A B=2 a, A O=\sqrt{3} a$.
自 $O$ 点向棱作垂线 $O C$, 设 $C$ 为垂足, 根据三垂线定理, $B C \perp A C$, 所以 $\angle B C O$ 为二面角 $P-A C-Q$ 的平面角。

在直角 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=45^{\circ}, A B=2 a$,

$$
\therefore \quad A C=\sqrt{2} a .
$$

在直角 $\triangle A O C$ 中, $A O=\sqrt{3} a, A C=\sqrt{2} a$,

$$
\therefore \quad O C=a .
$$

在直角 $\triangle B O C$ 中, $O C=a, B O=a, \angle B O C=90^{\circ}$

$$
\therefore \angle B C O=45^{\circ}
$$

$\therefore$ 二面角 $P-A C-Q$ 为 $45^{\circ}$ 的二面角。
答: 二面角 $P-A C-Q$ 的度数为 $45^{\circ}$.

`例`如下图所示，正方体 $ABCD - A _1 B_1 C _1 D _1$ 中，求二面角 $D _1- AC - B$ 的余弦值。
 ![图片](/uploads/2025-04/fabf32.jpg)
解析：要求二面角的余弦值，需要找到该二面角的平面角，连接 $BD , D _1 A$ ， $D _1 C$ ，设 $AC , BD$ 的交点为 O ，

因为 $ABCD - A _1 B_1 C _1 D _1$ 是正方体，所以各面的对角线都相等， $D _1 A= D _1 C$ ，可得 $\triangle D _1 AC$ 是等腰三角形；又因为 O 是 $AC , BD$ 的交点，所以 O 是 AC 的中点，那么 $D_1 O$ 是等腰 $\triangle D_1 A C$ 底边上的中线同时也是底边上的高，即 $D_1 O \perp A C$ ；

正方形 ABCD 中 $BD \perp AC$ ，所以 $\angle D _1 OB$ 就是二面角 $D _1- AC - B$ 的平面角；设正方体的棱长为 $a, BO$ 是底面正方形对角线的一半， $BO =\frac{\sqrt{2}}{2} a$ ； Rt $\triangle D _1 OD$ 中，直角边 $D _1 D =a$ ， $DO =\frac{\sqrt{2}}{2} a$ ，斜边 $D _1 O =\sqrt{ D _1 D ^2+ DO ^2}=\frac{\sqrt{6}}{2} a$ ； Rt $\triangle D _1 BD$ 中，直角边 $D _1 D =a, DB =\sqrt{2} a$ ，斜边 $D _1 B=\sqrt{ D _1 D ^2+ DB ^2}=\sqrt{3} a$ ；由余弦定理可得：
$$
\cos \angle D_1 OB=\frac{D_1 O^2+BO^2-D_1 B^2}{2 D_1 O \times BO}=\frac{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} a\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^2-(\sqrt{3 a})^2}{2 \times \frac{\sqrt{6}}{2} a \times \frac{\sqrt{2}}{2} a}=-\frac{\sqrt{3}}{3}
$$

其他版本
【高等数学】点到平面的夹角

开VIP会员

非会员每天6篇，会员每天16篇，VIP会员无限制访问

题库训练自我测评投稿

上一篇：两个平行平面的距离

下一篇：两个平面垂直的判定定理和性质定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)