最后更新: 2025-10-17 15:57 查看: 280 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附录：球面积推导公式

## 球面积的推导公式1
现
代数学使用微积分的极限思想来推导球的面积。

> 详细证明见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=408)

`例`求半径为a的球面的面积.
解 平行于轴的直线穿过球面时，与球面有二个交点，因此需将球面分成 上、下两部分，根据对称性，只需求出上半球面面积乘2即可.

球的方程为 $x^2+y^2+z^2=a^2$,即
上半球面方程: $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2} ，(x, y) \in D ， D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq a^2\right\}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}, \quad \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} ，$ 故 $S=2 \iint_D \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \mathrm{~d} \sigma=2 \iint_D \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \mathrm{~d} \sigma=2 a \int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^a \frac{1}{\sqrt{a^2-r^2}} r \mathrm{~d} r$ $=\left.4 \pi a\left(-\sqrt{a^2-r^2}\right)\right|_0 ^a=4 \pi a^2$.

## 球面积推导公式2
 
我们知道求圆柱，圆雉，圆台的侧面积公式都是利用它们的展开图求出的，由于球面不能展成平面图形，所以球的表面积计算公式无法用展开图求出，我们得另想计算方法．古希腊的几何学家欧都克斯为我们提供了一个在数学上非常有应用价值的逼近法来解决这个问题。

**逼近原理**
设 $\alpha, ~ \alpha^{\prime}$ 是两个实数，假如它们同时被一个递增数列 $\left\{a_n\right\}$ 和一个递减数列 $\left\{b_n\right\}$ 所左右夹逼，而且 $\left(b_n-a_n\right)$ 在 $n$ 增大时，可以任意小，即

$$
a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n<\cdots<\alpha, \quad \alpha^{\prime}<\cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq b_1
$$

且当 $n$ 无限增大时，$\left(b_n-a_n\right) \rightarrow 0$ ，则 $\alpha$ 必须等于 $\alpha^{\prime}$ ．

换句话说，上述左右夹逼数列唯一地确定了界于其间的那个实数 $\alpha$ ．为了求得球面积的部分面积计算公式，我们还需要下面的预备知识．

**定义**
如果平面内的一条折线，它所有的边都相等，并且相邻两边的夹角也都相等，那么这个平面折线叫做正折线。

**推论**
正折线都有一个中心，它是到正折线各顶点距离都相等，并且到各边距离相等的一个点．

**引理 1**
一条线段绕着和它在同一平面内并且至多有和它的一个端点相交的轴旋转所生成的旋转面的面积（即圆柱，圆雉，圆台的侧面积）等于一个圆柱的侧面积，这个圆柱的高等于这线段在轴上的射影，而它的底面半径等于以母线为底边，两顶点在轴上的等腰三角形的高．

已知：如图 2.55 所示，线段 $A B$ 与轴 $X Y$ 在同一平面内，$M R$ 垂直平分线段 $A B$ 于 $M$ ，且与 $X Y$ 轴交于 $R, C D$ 是 $A B$ 在 $X Y$ 上的射影，$M O \perp X Y$于 $O, S_{A B}$ 是线段 $A B$ 旋转面的面积

求证：$S_{A B}=2 \pi M R \cdot C D$

![图片](/uploads/2025-02/74be8d.jpg)
 
 证明：
1．若线段 $A B / / X Y$ ，则 $C D=A B, M O$ 与 $M R$ 重合，

$$
\begin{array}{ll}
\because

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