最后更新: 2025-02-09 18:41 查看: 103 次反馈刷题

数列计算-累加法

## 累加法
根据数列广义的定义： $a_{n+1}=a_n+f(n)$ 。

若 $a_{n+1}-a_n=f(n)(n \geq 2)$, 则   
$$
\begin{aligned}
& a_2-a_1=f(1) \\
& a_3-a_2=f(2) \\
& \cdots \quad \quad \cdots \\
& a_{n+1}-a_n=f(n)
\end{aligned}
$$
 
两边分别相加得 $a_{n+1}-a_1=\sum_{k=1}^n f(n)$

`例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n+2 n+1, a_1=1$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。   
解: 由 $a_{n+1}=a_n+2 n+1$ 
得 $a_{n+1}-a_n=2 n+1$ 则   
$$
\begin{aligned}
a_n & =\left(a_n-a_{n-1}\right)+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+\cdots+\left(a_3-a_2\right)+\left(a_2-a_1\right)+a_1 \\
& =[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+\cdots+(2 \times 2+1)+(2 \times 1+1)+1 \\
& =2[(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1]+(n-1)+1 \\
& =2 \frac{(n-1) n}{2}+(n-1)+1 \\
& =(n-1)(n+1)+1 \\
& =n^2
\end{aligned}
$$

所以数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=n^2$ 。

`例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n+2 \times 3^n+1, a_1=3$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。   
解：由 $a_{n+1}=a_n+2 \times 3^n+1$ 得 $a_{n+1}-a_n=2 \times 3^n+1$ 则

$$
\begin{aligned}
a_n & =\left(a_n-a_{n-1}\right)+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+\cdots+\left(a_3-a_2\right)+\left(a_2-a_1\right)+a_1 \\
& =\left(2 \times 3^{n-1}+1\right)+\left(2 \times 3^{n-2}+1\right)+\cdots+\left(2 \times 3^2+1\right)+\left(2 \times 3^1+1\right)+3 \\
& =2\left(3^{n-1}+3^{n-2}+\cdots+3^2+3^1\right)+(n-1)+3 \\
& =2 \frac{3\left(1-3^{n-1}\right)}{1-3}+(n-1)+3 \\
& =3^n-3+n-1+3 \\
& =3^n+n-1
\end{aligned}
$$

所以 $a_n=3^n+n-1$.

### 总结
(1)若 $f(n)$ 是关于 $n$ 的一次函数, 累加后可转化为等差数列求和;   
(2) 若 $f(n)$ 是关于 $n$ 的二次函数, 累加后可分组求和;   
(3) 若 $f(n)$ 是关于 $n$ 的指数函数, 累加后可转化为等比数列求和;   
(4) 若 $f(n)$ 是关于 $n$ 的分式函数, 累加后可裂项求和。

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