最后更新: 2025-05-28 06:54 查看: 264 次反馈同步训练

数列计算-累加法

## 累加法
根据数列广义的定义： $a_{n+1}=a_n+f(n)$ 。

若 $a_{n+1}-a_n=f(n)(n \geq 2)$, 则   
$$
\begin{aligned}
& a_2-a_1=f(1) \\
& a_3-a_2=f(2) \\
& \cdots \quad \quad \cdots \\
& a_{n+1}-a_n=f(n)
\end{aligned}
$$
 
两边分别相加得 $a_{n+1}-a_1=\sum_{k=1}^n f(n)$

即
 ![图片](/uploads/2025-05/182560.jpg)

累加法和累乘法是数列计算里，最基础的两个基本题型。
 
## 例题

`例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n+2 n+1, a_1=1$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。   
解: 由 $a_{n+1}=a_n+2 n+1$ 
得 $a_{n+1}-a_n=2 n+1$ 则   
$$
\begin{aligned}
a_n & =\left(a_n-a_{n-1}\right)+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+\cdots+\left(a_3-a_2\right)+\left(a_2-a_1\right)+a_1 \\
& =[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+\cdots+(2 \times 2+1)+(2 \times 1+1)+1 \\
& =2[(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1]+(n-1)+1 \\
& =2 \frac{(n-1) n}{2}+(n-1)+1 \\
& =(n-1)(n+1)+1 \\
& =n^2
\end{aligned}
$$

所以数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=n^2$ 。

`例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n+2 \times 3^n+1, a_1=3$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。   
解：由 $a_{n+1}=a_n+2 \times 3^n+1$ 得 $a_{n+1}-a_n=2 \times 3^n+1$ 则

$$
\begin{aligned}
a_n & =\left(a_n-a_{n-1}\right)+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+\cdots+\left(a_3-a_2\right)+\left(a_2-a_1\right)+a_1 \\
& =\left(2 \times 3^{n-1}+1\righ

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：数列求和

下一篇：数列计算-累乘法

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)