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高中数学
第十章 数列
数列计算-累乘法
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更新:
2025-02-09 18:43
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数列计算-累乘法
## 累乘法 适用于: $a_{n+1}=f(n) a_n$ 题型。 若 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$, 则 $\frac{a_2}{a_1}=f(1), \frac{a_3}{a_2}=f(2), \cdots \cdots, \frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$ 两边分别相乘得, $\frac{a_{n+1}}{a_1}=a_1 \cdot \prod_{k=1}^n f(k)$ , $\prod$是连乘符号 `例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=2(n+1) 5^n \times a_n, a_1=3$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。 解: 因为 $a_{n+1}=2(n+1) 5^n \times a_n, a_1=3$, 所以 $a_n \neq 0$, 则 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=2(n+1) 5^n$, 故 $$ \begin{aligned} a_n & =\frac{a_n}{a_{n-1}} \cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \cdots \cdots \frac{a_3}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_1} \cdot a_1 \\ & =\left[2(n-1+1) 5^{n-1}\right]\left[2(n-2+1) 5^{n-2}\right] \cdots \cdots\left[2(2+1) \times 5^2\right]\left[2(1+1) \times 5^1\right] \times 3 \\ & =2^{n-1}[n(n-1) \cdots \cdots 3 \times 2] \times 5^{(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1} \times 3 \\ & =3 \times 2^{n-1} \times 5^{\frac{n(n-1)}{2}} \times n ! \end{aligned} $$ 所以数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=3 \times 2^{n-1} \times 5^{\frac{n(n-1)}{2}} \times n !$. `例`设 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 1 的正项数列, 且 $(n+1) a_{n+1}^2-n a_n^2+a_{n+1} a_n=0(n=1,2,3, \cdots)$,则它的通项公式是 $a_n$ 是多少？ 解:</b> 已知等式可化为: $\left(a_{n+1}+a_n\right)\left[(n+1) a_{n+1}-n a_n\right]=0$ $$ \begin{aligned} & \because a_n>0\left(n \in N^*\right) \therefore(\mathrm{n}+1)^{a_{n+1}-n a_n=0}, \quad \text { 即 } \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1} \\ & \therefore n \geq 2 \text { 时, } \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{n} \\ & \therefore a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}} \cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \cdots \cdot \frac{a_2}{a_1} \cdot a_1=\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n-1} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1=\frac{1}{n} . \end{aligned} $$
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