最后更新: 2025-05-28 06:55 查看: 114 次反馈同步训练

数列计算-累乘法

## 累乘法
适用于: $a_{n+1}=f(n) a_n$  题型。

若 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$, 则 $\frac{a_2}{a_1}=f(1), \frac{a_3}{a_2}=f(2), \cdots \cdots, \frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$   
两边分别相乘得, $\frac{a_{n+1}}{a_1}=a_1 \cdot \prod_{k=1}^n f(k)$ , $\prod$是连乘符号

即
 ![图片](/uploads/2025-05/182560.jpg)

累加法和累乘法是数列计算里，最基础的两个基本题型。

## 例题

`例`在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=1, ~ a_n=\frac{n-1}{n} a_{n-1}\left(n \geqslant 2, ~ n \in N ^*\right)$ ，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为

解：
$$
\begin{aligned}
& \because a_n=\frac{n-1}{n} a_{n-1}(n \geqslant 2), \\
& \therefore a_{n-1}=\frac{n-2}{n-1} a_{n-2}, \quad a_{n-2}=\frac{n-3}{n-2} a_{n-3}, \quad \cdots, \quad a_2=\frac{1}{2} a_1 .
\end{aligned}
$$

以上 $(n-1)$ 个式子相乘得，

$$
a_n=a_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \ldots \cdot \frac{n-1}{n}=\frac{a_1}{n}=\frac{1}{n}
$$

当 $n=1$ 时，$a_1=1$ ，符合上式，$\therefore a_n=\frac{1}{n}$ ．

`例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=2(n+1) 5^n \times a_n, a_1=3$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。    
解:   因为 $a_{n+1}=2(n+1) 5^n \times a_n, a_1=3$, 所以 $a_n \neq 0$, 则 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=2(n+1) 5^n$, 故
 $$
\begin{aligned}
a_n & =\frac{a_n}{a_{n-1}} \cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \cdots \cdots \frac{a_3}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_1} \cdot a_1 \\
& =\left[2(n-1+1) 5^{n-1}\ri

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