最后更新: 2025-05-28 07:40 查看: 70 次反馈同步训练

数列计算-对数法

## 对数法
对数变换法适用于 $a_{n+1}=p a_n^r$ (其中 ${p}, {r}$ 为常数) 型 ${p}>0, a_n > 0$，对于含有指数的数列，通过取对数，就可以把指数乘除转换为对数的加减。

`例`设正项数列$\{a_n\}$满足$a_1=1, a_n=2a^2_{n-1}, (n \ge 2)$ 求${a_n}$的通项公式。    
解:两边取以2为底的对数得:   
          $\log _2^{a_n}=1+2 \log _2^{a_{n-1}}, \log _2^{a_n}+1=2\left(\log _2^{a_{n-1}}+1\right)$, 设 $b_n=\log _2^{a_n}+1$, 则   
         $\{b_n\}=2b_{n-1}$, $\{b_n \}$是以2位公比的等差数列，     
         $b_1=log^1_2+1=1$,

$$
b_n=1 \times 2^{n-1}=2^{n-1}, \quad \log _2^{a_n}+1=2^{n-1}, 
  \log _2^{a_n}=2^{n-1}-1, \quad 
  $$

$\therefore a_n=2^{2^{n-1}-1}$

`例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=2 \times 3^n \times a_n^5, a_1=7$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。
解:因为 $a_{n+1}=2 \times 3^n \times a_n^5, a_1=7$, 所以 $a_n>0, a_{n+1}>0$ 。

两边取常用对数得 $\lg a_{n+1}=5 \lg a_n+n \lg 3+\lg 2$

设 $\lg a_{n+1}+x(n+1)+y=5\left(\lg a_n+x n+y\right) \quad$      
比较系数得, $x=\frac{\lg 3}{4}, y=\frac{\lg 3}{16}+\frac{\lg 2}{4}$    
由 $\lg a_1+\frac{\lg 3}{4} \times 1+\frac{\lg 3}{16}+\frac{\lg 2}{4}=\lg 7+\frac{\lg 3}{4} \times 1+\frac{\lg 3}{16}+\frac{\lg 2}{4} \neq 0$, 得 $\lg a_n+\frac{\lg 3}{4} n+\frac{\lg 3}{16}+\frac{\lg 2}{4} \neq 0$,    
所以数列 $\left\{\lg a_n+\frac{\lg 3}{4} n+\frac{\lg 3}{16}+\frac{\lg 2}{4}\right\}$ 是以 $\lg 7+\frac{\lg 3}{4}+\frac{\lg 3}{16}+\frac{\lg 2}{4}$ 为首项, 以 5 为公比的等比    
        数列, 则 $\lg a_n+\frac{\lg 3}{4} n+\frac{\lg 3}{16}+\frac{\lg 2}{4}=\left(\lg 7+\frac{\lg 3}{4}+\frac{\lg 3}{16}+\frac{\lg 2}{4}\right) 5^{n-1}$, 因此
$$
\begin{aligned}
\lg a_n & =\left(\lg 7+\frac{\lg 3}{4}+\frac{\lg 3}{16}+\frac{\lg 2}{4}\right) 5^{n-1}-\frac{\lg 3}{4} n-\frac{\lg 3}{6}-\frac{\lg 2}{4} \\
& =\left[\lg \left(7 \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{16}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}\right)\right] 5^{n-1}-\lg \left(3^{\fra

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