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高中数学
第九章 数列
数列计算-换元法
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更新:
2025-02-13 08:16
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数列计算-换元法
## 换元法 换元法适用于含根式的递推关系 `例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{16}\left(1+4 a_n+\sqrt{1+24 a_n}\right), a_1=1$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。 解: 令 $b_n=\sqrt{1+24 a_n}$, 则 $a_n=\frac{1}{24}\left(b_n^2-1\right)$ 代入 $a_{n+1}=\frac{1}{16}\left(1+4 a_n+\sqrt{1+24 a_n}\right)$ 得 $\frac{1}{24}\left(b_{n+1}^2-1\right)=\frac{1}{16}\left[1+4 \frac{1}{24}\left(b_n^2-1\right)+b_n\right]$ 即 $4 b_{n+1}^2=\left(b_n+3\right)^2$ 因为 $b_n=\sqrt{1+24 a_n} \geq 0$, 则 $2 b_{n+1}=b_n+3$, 即 $b_{n+1}=\frac{1}{
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