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高中数学
第九章 数列
数列计算-数学归纳法
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2025-02-13 08:17
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数列计算-数学归纳法
## 数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前 $\mathrm{n}$ 项, 猜出数列的通项公式, 再用数学归纳法加以证明。他通常适合证明题 `例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n+\frac{8(n+1)}{(2 n+1)^2(2 n+3)^2}, a_1=\frac{8}{9}$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。 解: 由 $a_{n+1}=a_n+\frac{8(n+1)}{(2 n+1)^2(2 n+3)^2}$ 及 $a_1=\frac{8}{9}$, 得 $$ \begin{aligned} & a_2=a_1+\frac{8(1+1)}{(2 \times 1+1)^2(2 \times 1+3)^2}=\frac{8}{9}+\frac{8 \times 2}{9 \times 25}=\frac{24}{25} \\ & a_3=a_2+\frac{8(2+1)}{(2 \times 2+1)^2(2 \times 2+3)^2}=\frac{24}{25}+\frac{8 \times 3}{25 \times 49}=\frac{48}{49} \\ & a_4=a_3+\frac{8(3+1)}{(2 \times 3+1)^2(2 \times 3+3)^2}=\frac{48}{49}+\frac{8 \times 4}{49 \times 81}=\frac{80}{81} \end{aligned} $$ 由此可猜测 $a_n=\frac{(2 n+1)
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