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高中数学
第九章 数列
数列计算-递推法
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2025-02-13 08:20
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数列计算-递推法
## 递推公式中既有 $S_n$, 又有 $a_n$ 分析: 把已知关系通过 $a_n=\left\{\begin{array}{l}S_1, n=1 \\ S_n-S_{n-1}, n \geq 2\end{array}\right.$ 转化为数列 $\left\{a_n\right\}$ 或 $S_n$ 的递推关系, 然后采用相应的方法求解。 `例` 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数, 且前 ${n}$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n=\frac{1}{6}\left(a_n+1\right)\left(a_n+2\right)$, 且 $a_2, a_4, a_9$ 成等比数列, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。 解: $\because$ 对任意 $n \in N^{+}$有 $S_n=\frac{1}{6}\left(a_n+1\right)\left(a_n+2\right)$ $\therefore$ 当 ${n}=1$ 时, $S_1=a_1=\frac{1}{6}\left(a_1+1\right)\left(a_1+2\right)$, 解得 $a_1=1$ 或 $a_1=2$ 当 ${n} \geqslant 2$ 时, $S_{n-1}=\frac{1}{6}\left(a_{n-1}+1\right)\left(a_{n-1}+2\right)$ (1)-(2)整理得: $\left(a_n+a_{n-1}\right)\left(a_n-a_{n-1}-3\right)=0$ $\because\left\{a_n\right\}$ 各项均为正数, $\therefore a_n-a_{n-1}=3$ 当 $a_1=1$ 时, $a_n=3 n-2$, 此时 $a_4^2=a_2 a_9$ 成立 当 $a_1=2$ 时, $a_n=3 n-1$, 此时 $a_4^2=a_2 a_9$ 不成立, 故 $a_1=2$ 舍去 所以 $a_n=3 n-2$
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