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高中数学
第九章 数列
数列计算-迭代法
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2025-05-28 07:38
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数列计算-迭代法
## 数列计算-迭代法 **类型1**：相邻差为特殊数列（形如 $a_{n+1}=p a_n+q a_{n-1}$ ） :`例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=a_2=2, ~ a_n=3 a_{n-1}+4 a_{n-2}(n \geqslant 3)$ ，则 $a_9$ $+a_{10}$ 等于 A． $4^7$ B． $4^8$ C． $4{ }^9$ D． $4^{10}$ 解：由题意得 $a_1+a_2=4$ ， 由 $a_n=3 a_{n-1}+4 a_{n-2}(n \geqslant 3)$ ， 得 $a_n+a_{n-1}=4\left(a_{n-1}+a_{n-2}\right)$ ， 即 $\frac{a_n+a_{n-1}}{a_{n-1}+a_{n-2}}=4(n \geqslant 3)$ ， 所以数列 $\left\{a_n+a_{n+1}\right\}$ 是首项为 4 ，公比为 4 的等比数列， 所以 $a_9+a_{10}=4^9$ ． **类型2：方程法**  `例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, ~ a_2=2$ ，且 $a_{n+1}=2 a_n+3 a_{n-1}\left(n \geqslant 2, ~ n \in N ^*\right)$ ．则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=$ $\qquad$ ． 解： 因为方程 $x^2=2 x+3$ 的两根为 $-1,3$ ， 可设 $a_n=c_1 \cdot(-1)^{n-1}+c_2 \cdot 3^{n-1}$ ， 由 $a_1=1, ~ a_2=2$ ， 解得 $c_1=\frac{1}{4}, c_2=\frac{3}{4}$ ， 所以 $a_n=\frac{3^n-(-1)^n}{4}$ ． **类型3**：对于形如 $a_{n+1}=p a_n^r$ (其中 ${p}, {r}$ 为常数) 型 得数列可以转换为迭代法进行计算，请看例题。 `例`已知
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