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高中数学
第九章 数列
数列计算-倒数变换法
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2025-05-28 07:33
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数列计算-倒数变换法
## 倒数变换法 倒数变换法适用于分式关系的递推公式, 分子只有一项 倒数为特殊数列 形如 $a_{n+1}=\frac{p a_n}{r a_n+s}$ 型 `例` 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=\frac{a_n}{4 a_n+1}\left(n \in N ^*\right)$ ，则满足 $a_n>\frac{1}{37}$ 的 $n$的最大取值为 解：因为 $a_{n+1}=\frac{a_n}{4 a_n+1}$ ，所以 $\frac{1}{a_{n+1}}=4+\frac{1}{a_n}$ ， 所以 $\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=4$ ，又 $\frac{1}{a_1}=1$ ， 所以数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 是以 1 为首项， 4 为公差的等差数列． 所以 $\frac{1}{a_n}=1+4(n-1)=4 n-3$ ， 所以 $a_n=\frac{1}{4 n-3}$ ， 由 $a_n>\frac{1}{37}$ ，即 $\frac{1}{4 n-3}>\frac{1}{37}$ ， 即 $0<4 n-3<37$ ， 解得 $\frac{3}{4}<
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