最后更新: 2025-03-28 18:25 查看: 1346 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

集合的概念

## 集合
具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别对象称为集合的**元素**. 习惯上，用大写英文字母 $A, B, C, \cdots$ 表示集合， 用小写字母 $a, b, c, \cdots$ 表示集合的元素. $a \in A$ 表示 $a$ 是集 $A$ 的元素 (读作 $a$ 属于 $A$ )， $a \notin A$ 表示 $a$ 不是集 $A$ 的元素（读作 $a$ 不属 于 $A$ ). 集合按照元素的个数分为**有限集**和**无限集**，不含任何元素的 集合称为空集，记为 $\varnothing$.

我们把自然数的全体组成的集合称为**自然数集**，记作 $\mathrm{N}$. 由整数的全体构成的集合称**为整数集**，记为 $\mathrm{Z}$. 用 $\mathrm{Q}$ 表示全体有理数构成的**有理数集**， $\mathrm{R}$ 表示全体实数构成的实数集. 显然有 $\mathrm{N} \subset \mathrm{Z} \subset \mathrm{Q} \subset \mathrm{R}$. 由实数和虚数组成的集合为**复数集**，记做$\mathrm{C}$ ，除非特别声明，

如果是正整数集，则记为 $Z^{+}$，负整数集记为 $Z^{-}$，以此类推.
注：在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.

## 集合及其运算
集合的基本运算有四种: 并、交、差、补.
设 $A, B$ 是两个集合.
由同时包含于 $A$ 与 $B$ 的元素构成的集合 (见图 1-2)，称为 $A$ 与 $B$ 的交集（简称交），记作 $A \cap B$ ，即 $A \cap B=\{x \mid x \in A \text { 且 } x \in B\}$

由包含于 $A$ 或包含于 $B$ 的所有元素构成的集合（见图 1-3），称为 $A$ 与 $B$ 的并集（简称并），记作 $A \cup B$ ，即 $A \cup B=\{x \mid x \in A$ 或 $x \in B\}$

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由包含于 $A$ 但不包含于 $B$ 的元素构成的集合 (见图 1-4)，称为 $A$ 与 $B$ 的差集 (简称差)，记作 $A \backslash B$ ，即 $A \backslash B=\{x \mid x \in A$ 且 $x \notin B\}$ ；
特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 $U$ ) 中进行，集合 $A$ 是 $U$ 的子集 (见图 1-5)，此时称 $U \backslash A$ 为 $A$ 的余集 (或补集)，记作 $C_U A$ 或 $A^C$.

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## 集合的性质
关于集合的余集，我们有如下性质.
**性质1** (对偶性质，德摩根定律) 设 $U$ 是一个基本集， $A, B$ 是它的两个子集，则
$  (A \cup B)^C=A^C \cap B^C$
$ (A \cap B)^C=A^C \cup B^C$

> 上述形式的通俗解释：例如全集$U$是所有整数，$A$是偶数集，$B$是大于5的整数集，那么$A\cap B$就是大于5的偶数集，其补集就是小于等于5的整数或者奇数集，这正好等于$A$的补集（奇数集）与$B$的补集（小于等于5的整数集）的并集。

除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积.

**性质2** 
设 $A, B$ 是两个非空的集合，则由有序数对 $(x, y)$ 组成的集合

$$
A \times B=\{(x, y) \mid x \in A, y \in B\}
$$

称为 $A$ 与 $B$ 的直积.
例如：
设 $A=[0,1], B=[0,2]$
则 $A \times B=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\}$ ， 如图 1-6所示. $\mathrm{R} \times \mathrm{R}=\{(x, y) \mid x, y \in \mathrm{R}\}$ 即为 $x O y$ 面上全体点 的集合， $\mathrm{R} \times \mathrm{R}$ 常记作 $\mathrm{R}^2$.

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## 有限集与无限集
有限集是只含有限个元素的集合，无限集就是非有限集，但什么是无限集与有限集的本质差异呢？最早作出这个发现的是**伽利略**Galileo。如图1.1所示，Galileo 发现图中左边的两个长度不同的线段 $A B$ 与 $C D$ ，可以通过右边的方法实现一一对应。于是从左边看它们所含有的点似乎不是一样多，但从右边看它们所含有的点恰恰是一样多的。
 ![图片](/uploads/2025-01/02cf20.jpg)
 Galileo 又发现正整数全体可以和它们的平方构成一一对应．所有这些都是下列定理的特例．这个定理的证明将在后面给出．
 
> **伽利略定理** 集合 $S$ 是无限集的充分必要条件是 $S$ 与自己的一个真子集一一对应。

希尔伯特 Hilbert曾经举出一个生动的例子来说明上述定理．这就是著名的 Hilbert 旅馆。设想一个旅馆有无限多个房间，并用所有的正整数编号。每个房间只能住一位旅客。有一天晚上，旅馆已经客满，但这时来了一位旅客要求住宿。这对于普通的旅馆是一个没法解决的问题，可是这家旅馆的老板却有办法．他说，只要请 1 号房间的客人搬到 2 号房间， 2 号房间的客人搬到 3 号房间，如此等等，那么原来的客人都有房间住，而 1 号房间却可以接待新来的旅客了。

这个故事还可以有进一步的发展．设想又来了一位旅客要求住宿，并且说，他后面还有数不清的旅客正在前来投宿．这个问题如何能解决呢？旅馆的老板又拿出了新招．他说，请 1 号的客人搬到 2 号， 2 号的客人搬到 4 号， 3 号的客人搬到 6 号，如此等等，这样就将所有奇数号的房间全部空出，再来多少旅客也没有困难了。

我们看到，第一次的方法就是令 $n$ 与 $n+1$ 对应，从而使得正整数集合 $N$ 与自己的一个真子集，即从 2 开始的正整数全体建立一一对应。第二次的方法就是令 $n$与 $2 n$ 对应，使得 $N$ 与自己的另一个真子集，即偶数全体建立一一对应．

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