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第一章 函数、连续与极限
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2025-03-28 18:29
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开区间;闭区间
## 区间的定义 设 $a$ 和 $b$ 都是实数，且 $a<b$ ，数集 $\{x \mid a<x<b\}$ 称为**开区间**，记作 $(a, b)$（见图1-7)，即 $(a, b)=\{x \mid a<x<b\}$ ，开区间用**空心句点**表示。  $a$ 和 $b$ 称为开区间 $(a, b)$ 的端点，其中 $a$ 为左端点， $b$ 为右端点，且 $a \notin(a, b)$ , $b \notin(a, b)$. 类似地，数集 $\{x \mid a \leq x \leq b\}$ 称为**闭区间**，记作 $[a, b]$ (见图1-8)， 开区间用**实心的逗点**表示。  即 $[a, b]=\{x \mid a \leq x \leq b\}$. $a$ 和 $b$ 也称为闭区间 $[a, b]$ 的端点，且 $a \in[a, b] ， b \in[a, b]$. 此外，对于这样的集合: $\{x \mid x \geq a\} ，\{x \mid x>a\},\{x \mid x \leq b\} ，\{x \mid x<b\}$, 我们引进记号 $+\infty$ (读作正无穷大) 及 $-\infty$ (读作负无穷大)，则可类似的表示无限的半开区间 或开区间: $$ \begin{array}{ll} {[a,+\infty)=\{x \mid x \geq a\}} & (a,+\infty)=\{x \mid x>a\} \\ (-\infty, b]=\{x \mid x \leq b\} & (-\infty, b)=\{x \mid x<b\} \end{array} $$ 这些区间在数轴上表示长度无限的半直线，如图1-11 1-14所示.  全体实数的集合 $\mathbf{R}$ 也记作 $(-\infty,+\infty)$ 它也是无限的开区间.
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