最后更新: 2025-12-17 08:46 查看: 272 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

正态分布★★★★★

## 什么是正态分布？
假设你的老妈担心你的单身生活，为此，在相亲网站给你寻找相亲对象，她把你的照片放到了相亲网站后，一下子吸引来了200多个女性留言，要与你"私定终身"。老妈为了提高篮选效率，于是乎就建了一个微信群，让所有人报一下自己准确的身高。
为了统计方便。她以5厘米为单位，数一数每一段5厘米各有多少人。接着用身高为横轴，人数为纵轴，画了下面这张图。
仔细看这张图，你和老妈发现一个惊人的秘密:这张图形状是**中间高，两边低**，长得像一只倒扣的钟。这意味着什么？意味着大部分女性身高在150-165cm之间，身高低于150cm或者高于165cm的都比较少。
这个图形的分布，就是正态分布。
 ![图片](/uploads/2025-04/cb23d4.jpg){width=500px}
 
如果你在仔细看，身高在 低于143 和高于173的人更少，换句话说，$99.7 \%$ 的女生身高在 143-173 之间，这个被称为$3 \sigma$   原则．
 
 
## 正态分布

正态分布，有时也被称为**高斯分布**，他是统计学中一种非常重要的概率分布模型。它用来描述很多自然和社会现象中的随机变量的分布情况。

正态分布就像是观察一个群体中某种特征的分布情况时，发现大多数个体的特征值都集中在中间某个值附近，而极端大或极端小的值很少见，更重要的是**正态分布现象是大自然的一种自然规律**，或者说，正态分布是大自然赐予人类认识这个世界的一个统计分布，他的使用率如此之高，以至于在任何教程里都大书特书正态分布。

### 密度函数
正态分布是一种连续型分布，他的密度函数是

$$
f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}, ~ x \in R ...(1)
$$

正态分布的密度函数是大数学家高斯发明的，这也是他为什么被叫做高斯分布的原因。 请不要被正态分布的密度函数所吓到，因为你无需记忆密度公式，考试也不会考密度函数，你只要掌握密度函数的几个特性即可。

密度函数的图像如下：

![图片](/uploads/2025-12/256733.jpg){width=500px}

正态分布的概率密度曲线是一条**对称的钟形曲线**，有三个鲜明特点 记住这些结论是重点。 ：
1.  **对称性**：以 $x=\mu$ 为对称轴，左右两边长得一模一样；
2.  **中间高、两头低**：均值 $\mu$ 处的概率密度最大（数据最多），离均值越远，数据越少；
3.  **渐近性**：曲线两头无限靠近x轴，但永远不与x轴相交（极端值出现的概率极小，但理论上存在）。
4.  **总概率为1**：即曲线与$x$ 轴之间所夹区域的面积等于1，可以参考一开始引例的身高图，频率的总和为1.

### 简记
一般正态分布简单记为
$$
\boxed{
X \sim N(\mu,\sigma^2) ...(正态分布)
}
$$

其中 $\mu$ 代表均值， $\sigma^2$ 代表 方差。

> **注意：正态分布后面是是$\sigma^2$，如果一个题目给你 $X \sim N(5,16)$， 一定要记住，$\sigma$ 是4，而不是16**

## 3 $\sigma$ 原则

若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，可以证明
落在区间 $(\mu-\sigma, \mu+\sigma)$ 内的概率约为 $68.27 \%$ ，
落在区间 $(\mu-2 \sigma, \mu+2 \sigma)$ 内的概率约为 $95.45 \%$ ，
落在区间 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 内的概率约为 $99.73 \%$ ．

![图片](/uploads/2025-12/257afe.jpg){width=500px}

参考上图，虽然曲线是向两端无限延伸的，总面积是1，但是在 $u-3 \sigma $ 到 $u+3 \sigma $ 的总面积接近0.9973，换句话说 $\pm 3 \sigma$ 几乎包括了所有面积，这个规律被称作**正态分布的3 $\sigma$ 原则**

## 理解：正态分布的 $\m

其他版本
【概率论与数理统计】连续型(正态分布-Part1)

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