最后更新: 2025-12-15 13:29 查看: 97 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

超几何分布

> 本节简单的说，抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是**两点分布**。单纯抽查一次作用不大，可以抽查多次(需要放回)，这就是**二项分布**。 如果不放回则是**超几何分布**， 当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 比如在1000个样品里抽查5个产品，放回不放回对整体结果影响不大。

## 超几何分布的应用背景
**问题** 已知 100 件产品中有 8 件次品，分别采用**有放回**和**不放回**的方式随机抽取 4件．设抽取的 4 件产品中次品数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列？

分析：我们知道，如果采用**有放回抽样**，则每次抽到次品的概率为 0.08 ，且各次抽样的结果相互独立，此时 $X$ 服从[二项分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=744)，即 $X \sim B(4,0.08)$ ．

采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是 0.08 ，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，（试想一下，10个产品里有1个次品，如果第一次抽取是次品，那么接下来不论怎么抽取，他都是正品，可以看到第一次的结果影响了后面的结果，因此每次实验结果此彼是互相关联的）不符合 $n$ 重伯努利试验的特征，因此 $X$ 不服从二项分布．

可以根据古典概型求 $X$ 的分布列。由题意可知，$X$ 可能的取值为 $0,1,2,3,4$ ．从 100 件产品中任取 4 件，样本空间包含 $\mathrm{C}_{100}^4$ 个样本点，且每个样本点都是等可能发生的．其中 4 件产品中恰有 $k$ 件次品的结果数为 $\mathrm{C}_8^k \mathrm{C}_{92}^{4-k}$ ．由古典概型的知识，得 $X$ 的分布列为

$$
P(X=k)=\frac{\mathrm{C}_8^k \mathrm{C}_{92}^{4-k}}{\mathrm{C}_{100}^4}, k=0,1,2,3,4 .
$$

计算的具体结果（精确到 0.000 01）如表 7．4－1所示．

![图片](/uploads/2025-12/2efa34.jpg)

## 超几何分布的定义
 
 一般地，假设一批产品共有 $N$ 件，其中有 $M$ 件次品．从 $N$ 件产品中随机抽取 $n$ 件 （不放回），用 $X$ 表示抽取的 $n$ 件产品中的次品数，则 $X$ 的分布列为

$$
\boxed{
P(X=k)=\frac{\mathrm{C}_M^k \mathrm{C}_{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_{\mathrm{N}}^n}, k=m, m+1, m+2, \cdots, r .
}
$$

其中 $n, N, M \in \mathbf{N}^*, M \leqslant N, n \leqslant N, m=\max \{0, n-N+M\}, r=\min \{n, M\}$ 。如果随机变量 $X$ 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 $X$ 服从超几何分布（hypergeometric distribution）．

## 理解：超几何分布的意义

超几何分布的概率公式本质是 **“符合要求的选法数 ÷ 所有可能的选法数”** ，也就是“有利事件数/总事件数”，这是概率的核心定义，公式

$$
P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}\cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}
$$

就是这个逻辑的具象化。

**逐部分拆解公式**（结合灯泡例子）,我们还是用“10个灯泡（$N=10$），其中3个次品（$M=3$，‘抽到次品’为‘成功’），7个正品（$N-M=7$），不放回抽4个（$n=4$），求恰好抽到$k$个次品的概率”来对应公式：

1. **分母$\boldsymbol{C_{N}^{n}}$：所有可能的抽样方式**
    $C_{10}^{4}$表示“从10个灯泡里任意选4个的总选法数”，这是所有可能的结果，是概率的“分母基准”。
    计算得$C_{10}^{4}=210$，也就是说抽4个灯泡一共有210种不同的组合。

2. **分子$\boldsymbol{C_{M}^{k}\cdot C_{N-M}^{n-k}}$：恰好抽到$k$个“成功”个体的选法数**
    这个分子是“分步选”的结果，因为要同时满足“$k$个次品”和“$n-k$个正品”两个条件，需要分两步算再相乘（乘法原理）：
  **第一步：选$k$个次品**
      $C_{M}^{k}=C_{3}^{k}$表示“从3个次品里选$k$个的选法数”。比如$k=1$时，就是$C_{3}^{1}=3$，即从3个次品里挑1个次品有3种选法。
   **第二步：选$n-k$个正品**
      $C_{N-M}^{n-k}=C_{7}^{4-k}$表示“从7个正品里选剩下$4-k$个的选法数”。比如$k=1$时，$4-k=3$，就是$C_{7}^{3}=35$，即从7个正品里挑3个正品有35种选法。

**两步结合**
      要同时抽到1个次品和3个正品，选法数就是$3×35=105$，这就是“恰好1个次品”的有利事件数。

3. **整体比例**
    用有利事件数除以总事件数，即$105÷210=0.5$，这就是恰好抽到1个次品的概率，和之前的计算结果一致。

**$k$的取值范围为什么有限制？**
公式里$k$不能随便取，比如上面的例子里$k$不能取4（因为总共只有3个次品，不可能抽到4个），也不能取负数，这就是公式中$k$的范围$\max(0, n-(N-M)) \leq k \leq \min(M,n)$的意义：
 下限$\max(0, n-(N-M))$：保证“正品的选取数$n-k$”不会超过正品总数$N-M$。比如若抽$n=8$个灯泡（正品只有7个），则$n-(N-M)=8-7=1$，即$k$至少为1（必须至少抽1个次品才能凑够8个）。
上限$\min(M,n)$：保证“次品的选取数$k$”不会超过次品总数$M$，也不会超过抽样总数$n$。

一句话总结公式逻辑
>

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【概率论与数理统计】离散型(超几何分布)

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