最后更新: 2025-05-26 11:31 查看: 56 次反馈同步训练

超几何分布

> 本节简单的说，抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是**两点分布**。单纯抽查一次作用不大，可以抽查多次(需要放回)，这就是**二项分布**。 如果不放回则是**超几何分布**， 当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 比如在1000个样品里抽查5个产品，放回不放回对整体结果影响不大。
 ## 超几何分布

在商品合格性检验问题中，常常会遇到超几何分布．

`例` 设袋中装有大小与质地相同的 6 个白球， 4 个黑球．现在依次不放回地摸 5 个球，用 $X$ 表示摸出的白球个数．求 $X$的分布。

解 首先，因为所考虑的是白球的个数，与摸球的顺序无关，而且是不放回地摸球，所以从随机性的角度讲，依次摸出 5个球和一次摸出 5 个球是一样的。其次，由于是不放回地摸球，前面摸球的结果会影响后面摸球的结果，因此考虑问题的方法应该不同于放回摸球的情况。

因为白球有 6 个，所以变量 $X$ 的取值范围是 1，2，3，4， 5．从 10 个球中取 5 个球的所有可能的取法，不计顺序，共有 $C _{10}^5$ 种．举例来说，事件 $X=3$ 可以分为从 6 个白球中取 3 个，并从 4 个黑球中取 2 个这样两个步骤，即

$$
P(X=3)=\frac{C_6^3 C_1^2}{C_{10}^5} .
$$

所以，一般地说，
$$
P(X=k)=\frac{C_6^k C_1^{5-k}}{C_{10}^5}, k=1,2,3,4,5 .
$$

因此，如果一袋中装有大小与质地相同的 $a$ 个白球，$b$ 个黑球，依次随机且不放回地取 $n$ 个球，用 $X$ 表示其中的白球数，那么 $X$ 的分布可由下式给出：

$$
P(X=k)=\frac{C_a^k C_b^{n-k}}{C_{a+b}^n} .
$$

其中，$k$ 的取值范围由以下几个条件决定：取得的白球个数不能超过 $n$ ，也不能超过 $a$ ；同时，取得的黑球个数不能超过 $b$ ，即成立

$$
k \leqslant n, k \leqslant a, n-k \leqslant b
$$

如果简单地约定：当 $k<0$ 或者 $k>n$ 时，组合符号 $C _n^k=0$ ，这样，$P(X=k)$ 式中的 $k$ 原则上就可以取任意的整数值．

> **定义 从一个装有大小与质地相同的 $a$ 个白球，$b$ 个黑球的袋中随机且不放回地取 $n$ 个球，其中的白球数 $X$ 服从超几何分布**

**有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布**

### 数学期望与方差
 超几何分布有时也记为 $X \sim H(n, M, N)$ ，其均值 $E(X)=\frac{n M}{N}$ ， $D(X)=\frac{n M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\left(1-\frac{n-1}{N-1}\right)$

`例`计算上例 中 $X$ 的期望．
解 我们将利用期望的性质来进行计算。
从装有大小与质地相同的 $a$ 个白球，$b$ 个黑球的袋子中不放回地随机取 $n$ 个球，$n$ 不能超过总个数 $a+b$ ．用 $X$ 表示其中的白球个数。这可以想象成依次取球，用 $X_k$ 表示第 $k$ 次取球的结果：如果是白球，$X_k=1$ ；如果是黑球，$X_k=0$ ．那么

$$
X=X_1+X_2+\cdots+X_n .
$$

，抽签概率与顺序无关，所以

$$
P\left(X_k=1\right)=\frac{a}{a+b}, \quad P\left(X_k=0\right)=\frac{b}{a+b} .
$$

因此

$$
E\left[X_k\right]=\frac{a}{a+b},
$$

从而

$$
E[X]=E\left[X_1\right]+\cdots+E\left[X_n\right]=\frac{n a}{a+b},
$$

即 $X$ 的期望为取球的个数乘白球的比例．这与放回摸球情况下取得白球个数的期望是一样的。
从二项分布的期望计算到超几何分布的期望计算，可以看出，虽然期望和方差是用分布来定义的，但是其计算过程实际上不一定要用到分布，而只要使用期望和方差的性质即可。

> **二项分布和超几何分布的区别，实质上就是摸球模型中放回摸球和不放回摸球的区别．当 $a+b$ 远大于 $n$ 时，放回与不放回两种情况下的分布之间差别不大，即二项分布与超几何分布之间差别不大．**

`例`假定一批产品共 100 件，其中有 5 件不合格品．随机取出 10 件产品，求其中不合格品数 $X$ 的概率分布。

解 从 100 件产品中随机抽取 10 件有 $C _{100}

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