最后更新: 2025-04-11 17:17 查看: 14 次反馈刷题

超几何分布

## 超几何分布

在商品合格性检验问题中，常常会遇到超几何分布．

`例` 设袋中装有大小与质地相同的 6 个白球， 4 个黑球．现在依次不放回地摸 5 个球，用 $X$ 表示摸出的白球个数．求 $X$的分布。

解 首先，因为所考虑的是白球的个数，与摸球的顺序无关，而且是不放回地摸球，所以从随机性的角度讲，依次摸出 5个球和一次摸出 5 个球是一样的。其次，由于是不放回地摸球，前面摸球的结果会影响后面摸球的结果，因此考虑问题的方法应该不同于放回摸球的情况。

因为白球有 6 个，所以变量 $X$ 的取值范围是 1，2，3，4， 5．从 10 个球中取 5 个球的所有可能的取法，不计顺序，共有 $C _{10}^5$ 种．举例来说，事件 $X=3$ 可以分为从 6 个白球中取 3 个，并从 4 个黑球中取 2 个这样两个步骤，即

$$
P(X=3)=\frac{C_6^3 C_1^2}{C_{10}^5} .
$$

所以，一般地说，
$$
P(X=k)=\frac{C_6^k C_1^{5-k}}{C_{10}^5}, k=1,2,3,4,5 .
$$

因此，如果一袋中装有大小与质地相同的 $a$ 个白球，$b$ 个黑球，依次随机且不放回地取 $n$ 个球，用 $X$ 表示其中的白球数，那么 $X$ 的分布可由下式给出：

$$
P(X=k)=\frac{C_a^k C_b^{n-k}}{C_{a+b}^n} .
$$

其中，$k$ 的取值范围由以下几个条件决定：取得的白球个数不能超过 $n$ ，也不能超过 $a$ ；同时，取得的黑球个数不能超过 $b$ ，即成立

$$
k \leqslant n, k \leqslant a, n-k \leqslant b
$$

如果简单地约定：当 $k<0$ 或者 $k>n$ 时，组合符号 $C _n^k=0$ ，这样，$P(X=k)$ 式中的 $k$ 原则上就可以取任意的整数值．

**定义 从一个装有大小与质地相同的 $a$ 个白球，$b$ 个黑球的袋中随机且不放回地取 $n$ 个球，其中的白球数 $X$ 服从超几何分布**

`例`计算上例 中 $X$ 的期望．
解 我们将利用期望的性质来进行计算。
从装有大小与质地相同的 $a$ 个白球，$b$ 个黑球的袋子中不放回地随机取 $n$ 个球，$n$ 不能超过总个数 $a+b$ ．用 $X$ 表示其中的白球个数。这可以想象成依次取球，用 $X_k$ 表示第 $k$ 次取球的结果：如果是白球，$X_k=1$ ；如果是黑球，$X_k=0$ ．那么

$$
X=X_1+X_2+\cdots+X_n .
$$

本章 7.1 节中例 4 已经证明，抽签概率与顺序无关，所以

$$
P\left(X_k=1\right)=\frac{a}{a+b}, \quad P\left(X_k=0\right)=\frac{b}{a+b} .
$$

因此

$$
E\left[X_k\right]=\frac{a}{a+b},
$$

从而

$$
E[X]=E\left[X_1\right]+\cdots+E\left[X_n\right]=\frac{n a}{a+b},
$$

即 $X$ 的期望为取球的个数乘白球的比例．这与放回摸球情况下取得白球个数的期望是一样的。
从二项分布的期望计算到超几何分布的期望计算，可以看出，虽然期望和方差是用分布来定义的，但是其计算过程实际上不一定要用到分布，而只要使用期望和方差的性质即可。

> **二项分布和超几何分布的区别，实质上就是摸球模型中放回摸球和不放回摸球的区别．当 $a+b$ 远大于 $n$ 时，放回与不放回两种情况下的分布之间差别不大，即二项分布与超几何分布之间差别不大．**

`例`假定一批产品共 100 件，其中有 5 件不合格品．随机取出 10 件产品，求其中不合格品数 $X$ 的概率分布。

解 从 100 件产品中随机抽取 10 件有 $C _{100}^{10}$ 种等可能结果，假设 $\{X=2\}$ 表示的随机事件是＂取到 2 件不合格品和 8 件合格品＂，则依据分步计数原理有 $C _5^2 C _{95}^8$ 种结果，因此根据古典概型概率计算公式，得 $P(X=2)=\frac{ C _5^2 C _{95}^8}{ C _{100}^{10}}$ ．

类似地，可以求得 $X$ 取其他值时对应的随机事件的概率，从而得到不合格品数 $X$ 的分布列为
 ![图片](/uploads/2025-02/79d34d.jpg)
 
 对一般情形，一批产品共 $N$ 件，其中有 $M$ 件不合格品，随机取出的 $n$ 件产品中，不合格品数 $X$ 的分布列如下表所示，其中 $l=\min \{M, n\}, n \leqslant N-M$ ．
  ![图片](/uploads/2025-02/1b16ae.jpg)
  
  一般地，若 $N$ 件产品中有 $M$ 件次品，任取 $n$ 件，其中恰有 $X$ 件次品，则事件 $\{X=k\}$ 发生的概率为
  
  $$
P(X=k)=\frac{C_M^k C_N^{n-k}}{C_N^n}, k=0,1,2, \cdots, l,
$$

其中 $l=\min \{M, n\}$ ，且 $M \leqslant N, n \leqslant N-M, n, M, N \in N _{+}$，称分布列
 ![图片](/uploads/2025-02/ff1f3a.jpg)
 
 为超几何分布列。如果随机变量 $X$ 的分布列为超几何分布列，就称 $X$ 服从超几何分布，记作 $X \sim H(N, M, n)$ ．
 
 `例` 鱼塘中只有 80 条鲤鱼和 20 条草鱼，每条鱼被打捞的可能性相同．捞鱼者一网打捞上来 4 条鱼，计算：
（1）其中有 1 条鲤鱼的概率（精确到 0．001）；
（2） 4 条都是鲤鱼的概率（精确到 0.001 ）。
解 用 $X$ 表示被打捞的 4 条鱼中鲤鱼的条数，则 $X \sim H(100,80,4)$ ．因此，
（1）$P(X=1)=\frac{ C _{80}^1 C _{00}^3}{ C _{100}^4} \approx 0.023$ ．
（2）$P(X=4)=\frac{ C _{80}^4 C _{20}^9}{ C _{100}^4} \approx 0.403$ ．

`例`某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动。袋中装有 18 个除颜色外其余均相同的小球，其中 8 个是红球， 10 个是白球。抽奖者从中一次抽出 3 个小球，抽到 3 个红球得一等奖，抽到 2 个红球得二等奖，抽到 1 个红球得三等奖，抽到 0 个红球不得奖．求得一等奖，二等奖和三等奖的概率（精确到 0.0001 ）．

解 从 18 个小球中抽取 3 个时，有 $C _{18}^3$ 种等可能的结果．用 $X$ 表示抽到的红球数，则 $X \sim H(18,8,3)$ ，并且

$$
\begin{aligned}
& P(\text { 得一等奖 })=P(X=3)=\frac{C_8^3 C_{10}^0}{C_{18}^3}=\frac{56}{816} \approx 0.0686 . \\
& P(\text { 得二等奖 })=P(X=2)=\frac{C_8^2 C_{10}^1}{C_{18}^3}=\frac{280}{816} \approx 0.3431 . \\
& P(\text { 得三等奖 })=P(X=1)=\frac{C_8^1 C_{10}^2}{C_{18}^3}=\frac{360}{816} \approx 0.4412 .
\end{aligned}
$$

因此，得一等奖的概率约为 0.0686 ，得二等奖的概率约为 0.3431 ，得三等奖的概率约为 0.4412 ．

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