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高中数学
第十二章:概率与统计
两点分布与二项分布
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2025-05-26 11:27
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两点分布与二项分布
两点分布;二项分布;超几何分布
> 本节简单的说,抽查一个产品,质量可能合格或者不合格,这是**两点分布**。单纯抽查一次作用不大,可以抽查多次(需要放回),这就是**二项分布**。 如果不放回则是**超几何分布**, 当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理. 比如在1000个样品里抽查5个产品,放回不放回对整体结果影响不大。 ## 两点分布 如果随机变量 $X$ 只取值 0 或 1 ,且其概率分布是 $$ \boxed{ P(X=1)=p, P(X=0)=1-p, p \in(0,1) } $$ 则称随机变量 $X$ 服从两点分布,记作 $X \sim B(1, p)$ 。 两点分布又称 $0-1$ 分布,是我们在现实生活中经常会遇到的一种分布.例如,检查产品**合格与不合格**,投篮**命中与未命中**,一粒种子**发芽与未发芽**,考试成绩**及格与不及格**等,都可以用服从两点分布的随机变量来描述: $$ X= \begin{cases}1, & \text { 当试验成功时; } \\ 0, & \text { 当试验不成功时. }\end{cases} $$ `例`设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,若用随机变量 $X$ 描述一次试验成功的次数,求 $P(X=0)$ 的值. 解 由题知此试验服从两点分布,因此可列下表:  因为试验的成功率是失败率的 2 倍,所以 $p=2(1-p)$ , 解得 $p=\frac{2}{3}, ~ 1-p=\frac{1}{3}$ . 因此 $P(X=0)=\frac{1}{3}$ . ### 两点分布的数学期望与方差 若随机变量 $X$ 服从两点分布,则 $E(X)=$ $p$ , $D(X)=$ $p(1-p)$ . ## 伯努利实验 在研究随机现象时,经常要在相同的条件下重复做大量试验来发现规律.例如,研究抛掷一枚图钉出现结果的规律,就需要做大量的重复试验.而在 $n$ 次抛掷的过程中,每一次可能针尖朝上,也可能针尖朝下,并且每次针尖朝上的概率是相同的,同时各次试验的结果不会受其他试验结果的影响. 一般地,在相同条件下进行 $n$ 次重复试验,如果每次试验只有两种可能的结果 $A$ 与 $\bar{A}$ ,并且 $P(A)$ 保持不变,各次试验的结果相互独立,那么称这样的试验为**伯努利试验**,它也是一种 $n$ 次独立重复试验。 把一个亮点分布做$n$遍,就是二项分布,请看下面的定义。 ## 二项分布 一般地,在 $n$ 重伯努利试验中,设每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p(0<p<1)$ ,用 $X$ 表示事件 $A$ 发生的次数,则 $X$ 的分布列为 $P(X=k)=$ $C _n^k p^k(1-p)^{n-k}, ~ k=0,1,2, ~ \cdots, ~ n$. 如果随机变量 $X$ 的分布列具有上式的形式,则称随机变量 $X$ 服从二项分布,记作 $X \sim B(n, p)$ . ### 二项分布的数学期望与方程 若 $X \sim B(n, p)$ ,则 $E(X)=$ $n p$ ,$D(X)=$ $n p(1-p)$ . `例` 某班50名学生通过直播软件上网课,为了方便师生互动,直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口,大窗口始终显示老师讲课的画面,5个小窗口显示5名不同学生的画面.小窗口每5分钟切换一次,即再次从全班随机选择5名学生的画面显示,且每次切换相互独立.若一节课40分钟,则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均值是 A.10分钟 B.5分钟 C.4分钟 D.2分钟 解:每 5 分钟算作一轮,每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为 $\frac{5}{50}=\frac{1}{10}$ ,设他在直播屏幕上出现的轮次为 $X$ ,根据题意得,$X \sim B\left(8, \frac{1}{10}\right), E(X)=8 \times \frac{1}{10}=0.8$ ,设甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间为 $Y$(单位:分钟),则 $E(Y)=E(5 X)=5 \times 0.8=4$(分钟). 二项分布问题的解题关键 (1)定型: ①在每一次试验中,事件发生的概率相同. ②各次试验中的事件是相互独立的. ③在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生. (2)定参:确定二项分布中的两个参数n和p,即试验发生的次数和试验中事件发生的概率. `例`10 个零件中有 3 个次品,从中每次抽检 1 个,验后放回,连续抽检 3次.求抽检的 3 个零件中恰有 2 个是次品的概率. 分析 由于 3 次抽检是相互独立的,并且每次抽检只有两个可能的结果,即"抽到正品"或"抽到次品",因此,这是一个 3 次独立重复试验. 解 记抽到次品的概率为 $p$ ,抽到正品的概率为 $q$ . (方法一)设 $B=$" 3 次抽检,恰好有 2 个次品",$A_i=$"第 $i$ 次抽到次品"$(i=$ $1,2,3)$ ,则 $\bar{A}_i=$"第 $i$ 次抽到正品"$(i=1,2,3)$ . 因为 3 次抽检中恰有 2 个次品的事件共有 3 个,即 $A_1 A_2 \bar{A}_3, A_1 \bar{A}_2 A_3, \bar{A}_1 A_2 A_3$ .这三个事件是互斥的,并且 $A_1, A_2, A_3$ 之间都是相互独立的.由概率加法公式有 $
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