最后更新: 2025-12-16 14:44 查看: 489 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

两点分布与二项分布★★★★★

> 本节简单的说，抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是**两点分布**。单纯抽查一次作用不大，可以抽查多次(需要放回)，这就是**二项分布**。 如果不放回则是**超几何分布**， 当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 比如在1000个样品里抽查5个产品，放回不放回对整体结果影响不大。

## 伯努利实验
如果一个实验的只有两种互斥结果，我们称这种实验是**伯努利试验**。现实中可以把很多现象归纳为伯努利实验：比如：
（1）投掷硬币的**正面**和**反面**
（2）考试成绩的**及格**和**不及格**。
（3）导弹的**击中目标**和**未击中目标**
（4）明天天气的**下雨**和**不下雨**
（5）抽查一**个**产品质量的**合格**和**不合格**

上面这些现象可以归结为成功与失败，
“**成功**”：通常我们用数字1来表示。
“**失败**”：通常我们用数字0来表示。
每次成功的概率通常记作$p$，自然的失败的概率就是$1-p$.

### n重伯努利实验
把伯努利实验做$n$次，就是**n重伯努利实验**也叫做**n次伯努利实验**。 在高中阶段，我们总是默认每次验概率是相同的，而且检测是彼此**独立的**，
比如抛掷硬币，第一次出现正面的概率为0.5，第二次出现正面的概率扔是0.5，概率每次都相同。
再如抽查一批产品的质量，测量第一个产品的质量，不影响第二个产品的质量。

想象一个特殊例子：有2个手机：一个是新买的，一个已经使用了1年，要评估产品的合格率，很明显，新的合格率高，已经使用1年的合格率低，在这种情况下，就不满足n重伯努利实验。

## 两点分布
如果随机变量 $X$ 只取值 0 或 1 ，且其概率分布是

$$
\boxed{
P(X=1)=p, P(X=0)=1-p, p \in(0,1)
}
$$

则称随机变量 $X$ 服从两点分布，记作 $X \sim B(1, p)$ 。
两点分布又称 $0-1$ 分布，是我们在现实生活中经常会遇到的一种分布．例如，检查产品**合格与不合格**，投篮**命中与未命中**，一粒种子**发芽与未发芽**，考试成绩**及格与不及格**等，都可以用服从两点分布的随机变量来描述：

$$
X= \begin{cases}1, & \text { 当试验成功时; } \\ 0, & \text { 当试验不成功时. }\end{cases}
$$

`例`设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，若用随机变量 $X$ 描述一次试验成功的次数，求 $P(X=0)$ 的值．

解 由题知此试验服从两点分布，因此可列下表：
 ![图片](/uploads/2025-02/708a26.jpg)
 
 因为试验的成功率是失败率的 2 倍，所以 $p=2(1-p)$ ，
解得 $p=\frac{2}{3}, ~ 1-p=\frac{1}{3}$ ．
因此 $P(X=0)=\frac{1}{3}$ ．

### 两点分布的数学期望与方差
若随机变量 $X$ 服从两点分布，则
两点分布的数学期望 $E(X)=p$ 
直观理解：平均来看，在大量重复试验中，“成功”发生的次数占总次数的比例就是p。

两点分布的数学方差 $D(X)=p(1-p)$ ．
容易看到，$p=0.5$时方差最大，达到最大值$0.25$，当$p$接近0或者1时，方差最小，表示结果几乎确定。

比如，抽查一个产品，合格率为0.99%， 当任意再拿一个产品时，几乎可以确定他仍是合格的。

## 二项分布

**定义** 一般地，在 $n$ 重伯努利试验中，设每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p(0<p<1)$ ，用 $X$ 表示事件 $A$ 发生的次数，则 $X$ 的分布列为 $P(X=k)=$ $C _n^k p^k(1-p)^{n-k}, ~ k=0,1,2, ~ \cdots, ~ n$.
如果随机变量 $X$ 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 $X$ 服从二项分布，记作 $X \sim B(n, p)$ ．

二项分布可以有两种理解方式，以扔硬币为例，扔10次，计算其中正面朝上的概率：

**方法1**：一次一个的扔，扔10次。
一次扔一个，记录正面朝上的个数，然后扔10次，最终把个数相加。

**方法2**：一次扔10个硬币。
手里拿10个硬币，然后一次性扔完，记录正面朝上的个数。

这两种方式虽然形式不一样，但是本质是上一样的。

## 二项分布公式理解
**使用方法1理解二项分布公式**
我们把公式$P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$拆成3个核心部分来看：
- **$p^k$**：表示**恰好k次试验成功**的概率。因为每次成功概率是p，且试验独立，所以k次成功的概率是p相乘k次，也就是$p^k$。
  比如抛硬币（正面为成功，p=0.5），3次正面的概率就是$0.5×0.5×0.5=0.5^3$。

- **$(1-p)^{n-k}$**：表示**剩下n-k次试验失败**的概率。失败的概率是$1-p$，同理，n-k次失败的概率就是$(1-p)$相乘n-k次。
  比如抛10次硬币，3次正面、7次反面，7次反面的概率就是$0.5^7$。

- **$C_n^k$（组合数）**：表示**k次成功在n次试验中的位置组合数**。因为k次成功可以出现在n次试验的任意位置，比如10次抛硬币中3次正面，可能是第1、2、3次，也可能是第2、5、8次，这些不同的位置组合都满足“恰好3次成功”，而$C_n^k$就是计算这种组合的总数（$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$）。

举个具体例子：假设某工厂生产的零件合格率p=0.9，现抽检n=5个零件，求恰好有k=4个合格的概率：
- 4个合格的概率：$p^4=0.9^4$；
- 1个不合格的概率：$(1-p)^{5-4}=0.1^1$；
- 4个合格在5次抽检中的位置数：$C_5^4=5$；
- 最终概率：$P(X=4)=5×0.9^4×0.1≈0.3281$。

**使用方法2理解二项分布公式**
可以把二项分布想象成“选座位”：
n个座位对应n次试验；
要选k个座位放“成功”（对应k次成功），剩下的放“失败”；
$C_n^k$是选座位的方法数，$p^k$是k个成功座位的“有效概率”，$(1-p)^{n-k}$是失败座位的“有效概率”，三者相乘就是最终的总概率。
 
假设某工厂生产的灯泡合格率p=0.9，现抽检n=5个零件，求恰好有k=4个合格的概率：

分析：一共5个灯泡，选4个共有 $C_5^4$ 个取法，其中，$p^4$是成功的，$(1-p)^1$ 是失败的，这3个相乘，就是总的概率。

![图片](/uploads/2025-12/1d904f.jpg){width=300px}

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