最后更新: 2025-04-14 20:29 查看: 63 次反馈同步训练

正态密度函数的变换与标准化

##  正态密度函数的变换与标准化
利用函数的平移变换和伸缩变换，可以将形式较复杂的一般的正态密度函数转化为形式较简单的标准正态分布的正态密度函数，从而使得对该函数的分析和应用变得简便。

一般的正态密度函数可看作是以标准正态分布的正态密度函数为基础，通过平移和伸缩变化得到的。

对于标准正态分布的密度函数：

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2}
$$

第 1 步：沿水平方向拉伸为原来的 $\sigma$ 倍，将 $x$ 替换为 $\frac{x}{\sigma}$ ，变为：

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2 \sigma^2}
$$
同时，第 1 步的伸缩变换将图形沿水平方向拉长为原来的 $\sigma$ 倍，为了确保图像与 $x$ 轴围成的面积仍为 1 （确保所有基本事件的概率之和应当等于 1 ），需要将图形沿坚直方向压缩为原来的 $\frac{1}{\sigma}$ ，令解析式整体除以 $\sigma$ ，变为：

$$
f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2 \sigma^2}
$$

第 2 步：沿 $x$ 轴正方向平移 $\mu$ 个单位，将 $x$ 替换为 $x-\mu$ ，变为：

$$
f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(x-\mu)^2 / 2 \sigma^2}
$$

就得到了一般的正态密度函数。
现在颠倒变换的方向，将一般的正态密度函数进行平移和伸缩变换，变为简洁的标准正态密度函数，这是分析处理复杂的正态密度函数的主要思路。

对于一般的正态密度函数：

$$
f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(x-\mu)^2 / 2 \sigma^2}
$$

第 1 步：沿 $x$ 轴正方向平移 $-\mu$ 个单位，将 $x$ 替换为 $x+\mu$ ，变为：

$$
f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2 \sigma^2}
$$

第 2 步：沿水平方向压缩为原来的 $\frac{1}{\sigma}$ ，将 $x$ 替换为 $\sigma x$ ，变为：

$$
f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2}
$$

同时，为了确保图像与 $x$ 轴围成的面积仍为 1 ，令解析式整体乘以 $\sigma$ ，变为：

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2}
$$

就得到了标准正态分布的密度函数。
上述变换相当于先将全体实测数据都减去期望 $\mu$ ，把期望从 $\mu$ 变成 0 ；再把数据进行压缩，把方差从 $\sigma^2$ 变为 1 ；同时，把函数值都乘以 $\sigma$ ，确保函数图像与 $x$ 轴成的面积为 1 （全体基本事件的概率之和为 1

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