最后更新: 2025-12-16 15:53 查看: 222 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

正态分布的标准化

## 引言
我们要比较2个学生的身高，参考下图，只要两个学生站的位置水平，然后测量第一个学生的身高，再测量第二个学生的身高即可，即测量两次作差。但是，我们发现，再上面测量过程中，其实他们身高重合部分是不需要测量的，因此，一种更简单的方式是，从第一个男生的头部测量到第二个男生的都不即可。第二种测量方法更具可比性。
 ![图片](/uploads/2025-12/6c2c3b.jpg){width=200px}
 
 
##  正态密度函数的变换与标准化
在上一节说过，很多事物程序正态变化，我们希望 我们希望：**把任意位置、任意“胖瘦”的钟形曲线，平移+缩放成固定位置、固定“胖瘦”的标准钟形曲线**，本质就是消除均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$ 的“量纲”影响，统一到**同一个参照系里**。

比如一年级里男生身高服从$X \sim N(160,3^2)$ 分布， 六班级里男生身高服从$X \sim N(170,5^2)$，因为基准不同，并不容易看出到底是一年级身高浮动偏大还是六年级里身高浮动变大。

对于 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ 只要做线性变换

$$
\boxed{
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
}
$$

后，$Z \sim N(0,1)$ 标准正态分布。

> **把一般正态分布转化为标准正态分布，原来的曲线的形状不会变化，即不会改变图像的高矮胖瘦，只是位置发生平移，比如下图中的例子，经过标准化实际上只是均数从1010移到了0。**

![img-text](/uploads/2024-11/119a65.jpg)

## 从图像平移理解正态分布的标准化
### 1.  从“位置”和“胖瘦”的角度理解
普通正态分布 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 的曲线特点：
- **位置由 $\mu$ 决定**：曲线对称中心在 $x=\mu$，$\mu$ 变大，曲线整体右移；$\mu$ 变小，整体左移。
- **胖瘦由 $\sigma$ 决定**：$\sigma$ 是标准差，$\sigma$ 越大，数据越分散，曲线越扁平；$\sigma$ 越小，数据越集中，曲线越陡峭。 
而**标准正态分布 $Z\sim N(0,1)$** 是一个“基准款”：
- 位置固定：对称中心在 $z=0$（原点）；
- 胖瘦固定：标准差 $\sigma=1$，曲线的“陡峭程度”是固定的。

标准化的两步操作，正好对应修正“位置”和“胖瘦”：
- **第一步：减 $\mu$（平移）**
  计算 $X-\mu$，这一步的作用是把原曲线的对称中心从 $x=\mu$ 移到 **0** 的位置。
  比如 $X\sim N(5,4)$，$\mu=5$，$X-5$ 的均值就变成 $0$，曲线中心移到原点。
- **第二步：除以 $\sigma$（缩放）**
  计算 $\frac{X-\mu}{\sigma}$，这一步是把曲线的“胖瘦”调整到标准状态。
  还是上面的例子，$\sigma=2$，除以 $\sigma$ 后，标准差就从 $2$ 变成 $1$，曲线的陡峭程度和标准正态曲线完全一致。

### 2.  从“相对位置”的角度理解
标准化后的 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ 有一个专门的名字——**Z分数**，它的含义是：**某个数据 $x$ 距离均值 $\mu$ 有多少个标准差**。
- 如果 $Z=1$：说明这个数据比均值大 $1$ 个标准差；
- 如果 $Z=-2$：说明这个数据比均值小 $2$ 个标准差；
- 如果 $Z=0$：说明这个数据正好等于均值。

举个例子：
两个学生，A 考了 80 分，班级平均分 $\mu=70$，标准差 $\sigma=5$；B 考了 90 分，班级平均分 $\mu=85$，标准差 $\si

其他版本
【概率论与数理统计】连续型(标准正态分布与3σ原则-Part2)

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