最后更新: 2025-02-12 16:54 查看: 46 次反馈刷题

抽样

统计调查，获取有效数据极为关键．普查和抽样调查是获取数据的重要手段．在许多实际问题中，当总体容量很大或检测过程具有一定的破坏性时，很难直接研究总体，这时可以通过从总体中抽取一个样本进行研究，然后根据样本的情况去估计总体的相应情况。

在日常生活中，人们总是自觉或不自觉地应用抽样方法．例如，在市场上买花生或瓜子时总要先抓几颗看看是否饱满，干燥；在厨房煮汤时，为考察汤的味道，没必要把汤全喝完，而只要把汤搅拌均匀，从中品尝一勺就够了．

生活中的实例为我们进行抽样调查活动并收集数据提供了一些启发．例如：
第一，＂把汤搅拌均匀＂是说明抽样的随机性，没有抽样的随机性，样本就不能很好地反映总体的情况．

第二，＂品尝一勺＂指出了选取的样本量不能太少，也不必太大．太少了不足以品出味道，品尝一大碗也没有必要．

第三，＂无论这锅汤有多少，只要一勺就够了＂。这里体现出抽样调查的如下基本性质：总体个数增大时，样本量不必按比例增大．

科学的抽样方法必须使样本具有代表性，也就是抽取的样本能客观反映总体的情况，没有人为的主观偏向．如何科学地进行抽样呢？

## 简单随机抽样

如果在抽样过程中，能使总体中的每个个体都有相同的可能性被选人样本，那么这样的抽样叫作随机抽样．随机抽样可以避免人为的主观偏向，使样本具有代表性．

人们经常用＂任取＂＂随机抽取＂或＂等可能抽取＂等来表示随机抽样。
随机抽样分为无放回的随机抽样和有放回的随机抽样。例如，口袋中有质地相同的 10 个小球，分 3 种颜色。从中无放回地随机抽取 1 个，共抽取 $n$ 个 $(n \leqslant 10)$ ，这种抽样方法称为无放回的随机抽样。从袋中每次随机抽取一球记录颜色后放回，共抽取 $n$ 次，这样的抽样方法称为有放回的随机抽样。

在无放回的随机抽样下，同一个小球不会被抽中两次。而在有放回的随机抽样下，同一个小球可能被抽中多次．当样本量 $n=10$ ，采用无放回的随机抽样就可以完全了解袋中小球的颜色分布情况，采用有放回的随机抽样并不能对袋中小球的颜色分布作出准确判断。

一般地，设一个总体含有 $N$ 个个体，从中无放回地抽取 $n(n \leqslant N)$ 个个体为样本，如果总体内的每个个体都有相同的可能性被抽到，则把这样的抽样方法称为简单随机抽样。

我们把简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．

### 1．抽签法
下面通过一个实例来说明：
高一（1）班计划从 50 名同学中抽取 5 名同学参加某项课外活动。为保证每名同学被抽取的机会均等，我们可以把 50 名同学的学号写在小纸片上，然后将纸片揉成团放人一个不透明袋子中，充分摇匀后，从中无放回地抽出 5 个纸团并记下上面的学号．这 5 个学号对应的同学就构成了一个简单随机样本．

我们可将抽签法的步骤简单总结如下：
（1）假设一个总体有 $N$ 个个体，将它们逐一编号；
（2）制作 $N$ 个号签（号签可以用小球，纸片等制作），将编号写在号签上；
（3）将号签放在一个容器中，并充分搅拌均匀；
（4）从容器中任意抽取 $n$ 个号签，记录其编号，就得到一个容量为 $n$ 的样本．
### 2．随机数法
下面通过一个实例来说明随机数法。
某中学为了解高一年级 500 名同学的视力情况，准备抽取 $10 \%$ 的同学作为样本．实现简单随机抽样的方法是先将 500 名同学从 1 到 500 进行编号，然后将 500张编有 1 到 500 号的小纸片放入一个大纸箱中充分摇匀，最后从纸箱中无放回地抽取 50 张纸片．纸片上的号码就是被选中的同学的号码．纸片上的这 50 个数被称为随机数．显然，此例中随着总体个数的增大，制签的过程将变得烦琐．事实上，我们完全可以借助计算机产生随机数来解决这个问题。

下表是用计算机在 $1 \sim 500$ 中随机产生的 50 个随机数：
 ![图片](/uploads/2025-02/c8c23b.jpg)
 
 接下来，我们按照上面随机数表中的号码选出对应编号的 50 名同学，测量他们的视力后，得到一个容量为 50 的简单随机样本．

简单随机抽样是一种最基本的抽样方法，是其他抽样方法的基础．抽签法的突出特点是简单，直观，在总体个数不大时，使总体处于＂搅拌均匀＂的状态容易实现，这时，每个个体有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性．但当总体中个体很多时，对个体编号的工作量很大，并且由于搅拌不均匀可能导致抽样的不公平．采用随机数的方法可以克服这一问题．

## 分层抽样

生活经验告诉我们，要了解一盘菜炒得好不好吃，一般只要随机品尝几口就可以下结论了，没有必要等到把菜吃完再作出结论。但如果品尝的是西红柿炒鸡蛋，你进行随机品尝就不能只品尝西红柿或只品尝鸡蛋，这对你作出正确的判断是不利的。你应当随机品尝一下西红柿，再随机品尝一下鸡蛋，然后进行综合评价．这种品尝方法就是分层抽样方法。

当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层，然后对各层按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样，这种抽样方法称为分层抽样。

例1 某网络音乐平台就网络用户对某一特色栏目的喜爱程度进行调查，参与网络投票的总人数为 50000 ．网络用户对栏目的评价如下表所示：
 ![图片](/uploads/2025-02/2fc446.jpg)
 该音乐平台为进一步了解用户的具体想法和意见，打算从上述 50000 人中抽取 100 人进行电子邮件形式的调查，应怎样进行抽样？

分析 因为总体人数较多，不宜采用简单随机抽样．又由于观众对栏目喜爱程度差异较大，故应采用分层抽样．
解 采用分层抽样，其总体容量为 50000 ．
＂五星评价＂占 $\frac{9986}{50000}$ ，应抽取 $100 \times \frac{9986}{50000} \approx 20$（人）；
＂四星评价＂占 $\frac{15607}{50000}$ ，应抽取 $100 \times \frac{15607}{50000} \approx 31$（人）；
＂三星评价＂占 $\frac{14885}{50000}$ ，应抽取 $100 \times \frac{14885}{50000} \approx 30$（人）；
＂二星评价＂占 $\frac{6034}{50000}$ ，应抽取 $100 \times \frac{6034}{50000} \approx 12$（人）；
＂一星评价＂占 $\frac{3488}{50000}$ ，应抽取 $100 \times \frac{3488}{50000} \approx 7$（人）．
即按照＂五星评价＂至＂一星评价＂分别抽取 20 人， 31 人， 30 人， 12 人， 7 人．

从上面的抽样过程可以看出，分层抽样保证了样本中包含有各种特征的抽样单位，样本的结构与总体的结构保持一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的．在后面学习用样本估计总体时，我们将会了解到分层抽样既可以对总体特征进行估计，也可以对各层的特征进行估计。这些优点使分层抽样在实践中得到了广泛的应用。

前面介绍了简单随机抽样和分层抽样．对一个实际问题而言，究竟用何种抽样为好应视具体情况而定．我们简单归纳如下：
 ![图片](/uploads/2025-02/99dc60.jpg)
 
`例` 下列问题中，采用哪种抽样方法较为合理？
（1）某微波炉厂质量检查组为了解某批次 1000 台微波炉的使用寿命．
（2）每年 6 月 6 日是＂全国爱眼日＂。某县卫生部门要调查该县中小学生视力保护情况，已知该县有小学生 12000 名，初中生 10000 名，高中生 6000 名．
（3）某校要调查该校九年级 400 名学生的身高和体重情况，以供该校营养师参考进而指导食堂伙食营养搭配。

解（1）由于总体容量较大，可采用随机数法进行抽样．
（2）由于总体容量大，并且具有明显的层次性，因而应当先采用分层抽样，然后再在每层采用随机数法进行抽样。
（3）由于总体容量较大，男女学生在身高和体重方面又有较大的差异，所以应当先采用分层抽样，然后对男生和女生分别用抽签法进行抽样。

科学的抽样方法可以提高用样本估计总体的精度，关于历史上采取不正确的抽样方法而导致调查结论严重失真的教训，可参阅本小节的＂数学文化＂。但影响精度的不仅有抽样方法，还有样本容量．一般地，样本容量较大时，可以获得较精确的估计。

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