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一元线性回归模型的应用

## 一元线性回归模型的应用

一元线性回归方程 $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b} x$ 在一定程度上描述了变量 $x$ 与 $y$ 之间的数量关系，根据这一方程，可依据自变量 $x$ 来估计或预测因变量 $y$ 的取值，这就是回归分析的主要目的。

`例`一个车间为了估计加工某种新型零件所花费的时间，进行了 10 次试验，测得的数据如下：
 ![图片](/uploads/2025-02/42a2de.jpg)
 
 （1）$y$ 与 $x$ 之间是否具有相关关系？
（2）如果 $y$ 与 $x$ 之间具有相关关系，求回归直线方程．
（3）据此估计加工 110 个零件所用的时间．
解
   (1)
$$
\begin{aligned}
& \text { } \begin{aligned}
\bar{x} & =\frac{10+20+30+40+50+60+70+80+90+100}{10} \\
& =55, \\
\bar{y} & =\frac{62+68+75+81+89+95+102+108+115+122}{10} \\
& =91.7 . \\
\text { 于是 } r= & \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i^2=38500, \sum_{i=1}^{10} y_i^2=87777, \sum_{i=1}^{10} x_i y_i=55950 .}{\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{10} x_i^2-10 \bar{x}^2\right)\left(\sum_{i=1}^{10} y_i^2-10 \bar{y}^2\right)}} \\
= & \frac{55950-10 \times 55 \times 91.7}{\sqrt{\left(38500-10 \times 55^2\right)\left(87777-10 \times 91.7^2\right)}} \\
\approx & 0.9998,
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

因此 $y$ 与 $x$ 之间具有显著的正相关关系．
$$
\begin{aligned}
&\text {（2）设所求的回归直线方程为 } \hat{y}=\hat{b} x+\hat{a} \text { ，则 }\\
&\begin{aligned}
& \hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{10} x_i y_i-10 \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{10} x_i^2-10 \bar{x}^2}=\frac{55950-10 \times 55 \times 91.7}{38500-10 \times 55^2} \approx 0.668, \\
& \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=91.7-0.668 \times 55=54.96,
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

即所求的回归直线方程为 $\hat{y}=0.668 x+54.96$ ．
（3）当 $x=110$ 时，$y$ 的估计值 $\hat{y}=0.668 \times 110+54.96=128.44$ ．
因此，估计加工 110 个零件所用的时间为 128.44 min ．

一般地，运用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是因变量，哪个变量是自变量；
（2）运用相关系数的计算公式，分析自变量与因变量之间的关系；
（3）运用最小二乘原理估计一元线性回归方程的系数，建立一元线性回归方程；
（4）根据一元线性回归方程进行预测．

`例`实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据，见表 4－1，试建立转化率 $y$ 关于反应时间 $x$ 的回归方程（回归系数保留三位小数）．
 ![图片](/uploads/2025-02/bc59af.jpg)
 解：做出散点图

其他版本
【概率论与数理统计】一元线性回归

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