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高中数学
第十二章:概率与统计
一元线性回归模型的应用
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2025-05-27 06:26
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一元线性回归模型的应用
## 一元线性回归模型的应用 一元线性回归方程 $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b} x$ 在一定程度上描述了变量 $x$ 与 $y$ 之间的数量关系,根据这一方程,可依据自变量 $x$ 来估计或预测因变量 $y$ 的取值,这就是回归分析的主要目的。 `例`一个车间为了估计加工某种新型零件所花费的时间,进行了 10 次试验,测得的数据如下:  (1)$y$ 与 $x$ 之间是否具有相关关系? (2)如果 $y$ 与 $x$ 之间具有相关关系,求回归直线方程. (3)据此估计加工 110 个零件所用的时间. 解 (1) $$ \begin{aligned} & \text { } \begin{aligned} \bar{x} & =\frac{10+20+30+40+50+60+70+80+90+100}{10} \\ & =55, \\ \bar{y} & =\frac{62+68+75+81+89+95+102+108+115+122}{10} \\ & =91.7 . \\ \text { 于是 } r= & \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i^2=38500, \sum_{i=1}^{10} y_i^2=87777, \sum_{i=1}^{10} x_i y_i=55950 .}{\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{10} x_i^2-10 \bar{x}^2\right)\left(\sum_{i=1}^{10} y_i^2-10 \bar{y}^2\right)}} \\ = & \frac{55950-10 \times 55 \times 91.7}{\sqrt{\left(38500-10 \times 55^2\right)\left(87777-10 \times 91.7^2\right)}} \\ \approx & 0.9998, \end{aligned} \end{aligned} $$ 因此 $y$ 与 $x$ 之间具有显著的正相关关系. $$ \begin{aligned} &\text {(2)设所求的回归直线方程为 } \hat{y}=\hat{b} x+\hat{a} \text { ,则 }\\ &\begin{aligned} & \hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{10} x_i y_i-10 \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{10} x_i^2-10 \bar{x}^2}=\frac{55950-10 \times 55 \times 91.7}{38500-10 \times 55^2} \approx 0.668, \\ & \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=91.7-0.668 \times 55=54.96, \end{aligned} \end{aligned} $$ 即所求的回归直线方程为 $\hat{y}=0.668 x+54.96$ . (3)当 $x=110$ 时,$y$ 的估计值 $\hat{y}=0.668 \times 110+54.96=128.44$ . 因此,估计加工 110 个零件所用的时间为 128.44 min . 一般地,运用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤为: (1)确定研究对象,明确哪个变量是因变量,哪个变量是自变量; (2)运用相关系数的计算公式,分析自变量与因变量之间的关系; (3)运用最小二乘原理估计一元线性回归方程的系数,建立一元线性回归方程; (4)根据一元线性回归方程进行预测. `例`实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据,见表 4-1,试建立转化率 $y$ 关于反应时间 $x$ 的回归方程(回归系数保留三位小数).  解:做出散点图  观察散点图可知,样本点并没有分布在某条直线附近,因而变量 $y$ 与 $x$ 之间没有明显的线性相关关系,所以不能直接利用线性回归模型来刻画这两个变量之间的关系。根据已有的数学知识,可以认为样本点分布在指数型曲线 $y=c_1 e ^{c_2 x}$ 的附近,其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是待定参数。 为估计参数 $c_1$ 和 $c_2$ ,在 $y=c_1 e _2{
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