最后更新: 2025-02-22 09:12 查看: 70 次反馈刷题

一元线性回归模型的应用

## 一元线性回归模型的应用

一元线性回归方程 $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b} x$ 在一定程度上描述了变量 $x$ 与 $y$ 之间的数量关系，根据这一方程，可依据自变量 $x$ 来估计或预测因变量 $y$ 的取值，这就是回归分析的主要目的。

`例`一个车间为了估计加工某种新型零件所花费的时间，进行了 10 次试验，测得的数据如下：
 ![图片](/uploads/2025-02/42a2de.jpg)
 
 （1）$y$ 与 $x$ 之间是否具有相关关系？
（2）如果 $y$ 与 $x$ 之间具有相关关系，求回归直线方程．
（3）据此估计加工 110 个零件所用的时间．
解
   (1)
$$
\begin{aligned}
& \text { } \begin{aligned}
\bar{x} & =\frac{10+20+30+40+50+60+70+80+90+100}{10} \\
& =55, \\
\bar{y} & =\frac{62+68+75+81+89+95+102+108+115+122}{10} \\
& =91.7 . \\
\text { 于是 } r= & \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i^2=38500, \sum_{i=1}^{10} y_i^2=87777, \sum_{i=1}^{10} x_i y_i=55950 .}{\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{10} x_i^2-10 \bar{x}^2\right)\left(\sum_{i=1}^{10} y_i^2-10 \bar{y}^2\right)}} \\
= & \frac{55950-10 \times 55 \times 91.7}{\sqrt{\left(38500-10 \times 55^2\right)\left(87777-10 \times 91.7^2\right)}} \\
\approx & 0.9998,
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

因此 $y$ 与 $x$ 之间具有显著的正相关关系．
$$
\begin{aligned}
&\text {（2）设所求的回归直线方程为 } \hat{y}=\hat{b} x+\hat{a} \text { ，则 }\\
&\begin{aligned}
& \hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{10} x_i y_i-10 \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{10} x_i^2-10 \bar{x}^2}=\frac{55950-10 \times 55 \times 91.7}{38500-10 \times 55^2} \approx 0.668, \\
& \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=91.7-0.668 \times 55=54.96,
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

即所求的回归直线方程为 $\hat{y}=0.668 x+54.96$ ．
（3）当 $x=110$ 时，$y$ 的估计值 $\hat{y}=0.668 \times 110+54.96=128.44$ ．
因此，估计加工 110 个零件所用的时间为 128.44 min ．

一般地，运用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是因变量，哪个变量是自变量；
（2）运用相关系数的计算公式，分析自变量与因变量之间的关系；
（3）运用最小二乘原理估计一元线性回归方程的系数，建立一元线性回归方程；
（4）根据一元线性回归方程进行预测．

`例`实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据，见表 4－1，试建立转化率 $y$ 关于反应时间 $x$ 的回归方程（回归系数保留三位小数）．
 ![图片](/uploads/2025-02/bc59af.jpg)
 解：做出散点图
  ![图片](/uploads/2025-02/6a772a.jpg)
  
  观察散点图可知，样本点并没有分布在某条直线附近，因而变量 $y$ 与 $x$ 之间没有明显的线性相关关系，所以不能直接利用线性回归模型来刻画这两个变量之间的关系。根据已有的数学知识，可以认为样本点分布在指数型曲线 $y=c_1 e ^{c_2 x}$ 的附近，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是待定参数。

为估计参数 $c_1$ 和 $c_2$ ，在 $y=c_1 e _2{ }^{c_2}$ 的两端取对数，得到

$$
\ln y=\ln c_1+c_2 x
$$

再令 $z=\ln y, a=\ln c_1, b=c_2$ ，则得到直线方程

$$
z=b x+a
$$

将表 中的数据进行代换得到的数据见表 
 ![图片](/uploads/2025-02/34e182.jpg)
 做出散点图
  ![图片](/uploads/2025-02/74f975.jpg)
  
  从图 4．2－5 中可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，说明 $z$ 和 $x$之间具有线性相关关系，因此可以用线性回归方程来拟合。

对表 4－2 中的数据，用最小二乘法可得线性回归方程为

$$
\hat{z}=0.019 x+0.686
$$

再利用 $y= e ^z$ 可得到转化率 $y$ 关于反应时间 $x$ 的非线性回

归方程  为

$$
\hat{y}=e^{0.686} \cdot e^{0.019 x} \approx 1.986 e^{0.019 x}
$$

在实际问题中，如果从数据的散点图可以看出两个变量之间有明显的非线性关系，就需要选择一个合适的曲线方程，按照这个曲线方程对原始数据进行代换。目的是把变量间的非线性关系转化为近似的线性关系，然后用建立线性回归方程的方法确定未知参数．

当数据量较大时，可采用计算器或者数学软件来求回归方程。

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