最后更新: 2025-05-28 08:54 查看: 66 次反馈同步训练

高考研究-数列的综合法

数列计算问题，是高考压轴题的核心题型，教程上只介绍了等差数列与等比数列，学生在学习数列这一章时，最大的感触是：**教材非常简单，考试题目非常的难**，形成鲜明对边。因此，数列复习核心在于**多做题，多总结**。对于错题，反复理解训练。

## 综合运用
在实际中，需要综合运用上面的方法。

`例` 已知 $\left\{a_n\right\}$ 是递增的等差数列，$a_1+a_5=18, ~ a_1, ~ a_3, ~ a_9$分别为等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前三项．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；

（2）删去数列 $\left\{b_n\right\}$ 中的第 $a_i$ 项（其中 $i=1,2,3, \cdots$ ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 $\left\{c_n\right\}$ ，求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．

解：（1）设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d(d>0)$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的公比为 $q$ ，由已知得 $\left\{\begin{array}{l}a_1+a_1+4 d=18, \\ \left(a_1+2 d\right)^2=a_1\left(a_1+8 d\right),\end{array}\right.$ 解得 $a_1=3, d=3$ ，所以 $a_n=3 n$ ；所以 $b_1=a_1=3, q=\frac{a_3}{a_1}=3$ ，所以 $b_n=3^n$ ．

（2）由题意可知新数列 $\left\{c_n\right\}$ 为 $b_1, ~ b_2, ~ b_4, ~ b_5, ~ \cdots$ ，则当 $n$ 为偶数时，$S_n=\left(b_1+b_4+\cdots+b_{3\left(\frac{n}{2}\right)^{-2}}\right)+\left(b_2+b_5+\cdots+b_{3\left(\frac{n}{2}\right)^{-1}}\right)$ $=\frac{3\left(1-27^{\frac{n}{2}}\right)}{1-27}+\frac{3^2\left(1-27^{\frac{n}{2}}\right)}{1-27}=\frac{6\left(27^{\frac{n}{2}}-1\right)}{13}$

则当 $n$ 为奇数时，

$$
S_n=S_{n-1}+c_n=S_{n-1}+b_{3\left(\frac{n+1}{2}\right)-2}=S_{n-1}+b_{\frac{3 n-1}{2}}=\frac{6\left(27^{\frac{n-1}{2}}-1\right)}{13}+3^{\frac{3 n-1}{2}}
$$

综上，$S_n=\left\{\begin{array}{l}\frac{6\left(27^{\frac{n}{2}}-1\right)}{13}, n \text { 为偶数，} \\ \frac{6\left(27^{\frac{n-1}{2}}-1\right)}{13}+3^{\frac{3 n-1}{2}}, n \text { 为奇数．}\end{array}\right.$

`例`已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_1>1$,且 $6 S_n=\left(a_n+1\right)\left(a_n+2\right), n \in \mathbf{N}$.
(I) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;           
(II) 设数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_n\left(2^{b_n}-1\right)=1$, 并记 $T_n$ 为 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和,求

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