最后更新: 2025-05-28 08:51 查看: 90 次反馈同步训练

高考研究：子数列问题

子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.

## 奇数项与偶数项

解答与奇偶项有关的求和问题的关键
(1)弄清n为奇数或偶数时数列的通项公式.
(2)弄清n为奇数时数列前n项中奇数项与偶数项的个数.

`例` 在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_n=\left\{\begin{array}{l}2 n-1, n \text { 为奇数，} \\ 2^n, n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$
（1）求 $a_1, a_2, a_3$ ；
(2)求数列${a_n}$的前$n$项和$S_n$.

解：（1）因为 $a_n=\left\{\begin{array}{l}2 n-1, n \text { 为奇数，} \\ 2^n, n \text { 为偶数，}\end{array}\right.$
所以 $a_1=2 \times 1-1=1, a_2=2^2=4, a_3=2 \times 3-1=5$ ．

(2) 
因为 $a_n=\left\{\begin{array}{l}2 n-1, n \text { 为奇数，} \\ 2^n, n \text { 为偶数，}\end{array}\right.$
所以 $a_1, ~ a_3, ~ a_5, ~ \cdots$ 是以 1 为首项， 4 为公差的等差数列， $a_2, ~ a_4, ~ a_6, ~ \cdots$ 是以 4 为首项， 4 为公比的等比数列。
当 $n$ 为奇数时，数列的前 $n$ 项中有 $\frac{n+1}{2}$ 个奇数项，有 $\frac{n-1}{2}$ 个偶数项．
所以 $S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$

$$
\begin{aligned}
& =\left(a_1+a_3+\cdots+a_{n-2}+a_n\right)+\left(a_2+a_4+\cdots+a_{n-3}+a_{n-1}\right) \\
& =\frac{n+1}{2} \times 1+\frac{\frac{n+1}{2}\left(\frac{n+1}{2}-1\right)}{2} \times 4+\frac{4\left(1-4^{\frac{n-1}{2}}\right)}{1-4}=\frac{n^2+n}{2}+\frac{2^{n+1}-4}{3} ;
\end{aligned}
$$

当 $n$ 为偶数时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项中有 $\frac{n}{2}$ 个奇数项，有 $\frac{n}{2}$ 个偶数项．
所以 $S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$

$$
\begin{aligned}
& =\left(a_1+a_3+\cdots+a_{n-3}+a_{n-1}\right)+\left(a_2+a_4+\cdots+a_{n-2}+a_n\right) \\
& =\frac{n}{2} \times 1+\frac{\left.\frac{n}{2} \frac{n}{2}-1\right)}{2

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