最后更新: 2025-03-28 18:55 查看: 874 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

基本初等函数

## 基本初等函数
在初等数学里，已经学过了如下六类函数：**常数函数、反函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数**，他们被称作**基本初等函数**。 由初等函数仅有限的四则运算和有限次的复合形成的函数，称为**初等函数**。

> 关于这些函数的详细教程，可以参考 [高中数学](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2) 里的教材

### 常数函数
$y=C$ 其中$C$为常数的函数。

### 幂函数
幂函数形如 $y=x^\alpha$ ( $\alpha$ 是常数)

当 $\alpha \in Z^{+}$时， $y=x^\alpha$ 的定义域是 $R$ ；
当 $\alpha \in Z^{-}$时， $y=x^\alpha$ 的定义域是 $R \backslash\{0\}$
(见图1-17)；
当 $\alpha=\frac{1}{2}$ 时， $y=x_1^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ 的定义域是 $[0,+\infty)$ ；
当 $\alpha=-\frac{1}{2}$ 时， $y=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的定义域是 $(0,+\infty)$,
幂函数的最小定义域是 $(0,+\infty)$.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271155.png)

### 指数函数
指数函数形如 $y=a^x$，指数函数总是过$(0,1)$点，他的定义域为$a>0$ 且 $a \ne 1$

![图片](/uploads/2025-03/742f06.jpg)

### 对数函数
 对数函数: $y=\log _a x(a>0, a \neq 1)$， 他的定义域是 $(0,+\infty)$, 其图像位于 $y$ 轴的右方且通过 点 $(1,0) $.
 
当 $a>1$ 时， $y=\log _a x$ 是单调增加函数(见图1-20)；
当 $0<a<1$ 时， $y=\log _a x$ 是单调减少函数(见图1-21).

当 $a=\mathrm{e}$ 时的对数函数 记为 $y=\ln x$ ，称为**自然对数函数**.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271158.png)

对数具有以下运算性质：对任意的 $x, y \in R^{+}, a>0, a \neq 1 ， b \in \mathrm{R}$,
(i) $\log _a x+\log _a y=\log _a x y$
(ii) $\log _a x-\log _a y=\log _a \frac{x}{y}$
(iii) $\log _a x^b=b \log _a x$
$y=\log _a x$ 和 $y=a^x$ 互为反函数，它们的图像关于直线 $y=x$ 对称，且有 $a^{\log _a x}=x$ ， 进一步，我们在以后的计算中经常会用到 $\mathrm{e}^{\ln x}=x$ 和 $\mathrm{e}^{a \ln x}=\mathrm{e}^{\ln x^a}=x^a$.

### 三角函数

$y=\tan x$ 的定义域是 $\left\{x \mid x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\right\}$ 值域是 $(-\infty,+\infty)$ ，最小正周期是 $\pi$ ，在定义域 上是奇函数 (见图1-24)；

$y=\cot x$ 的定义域是 $\{x \mid x \neq k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\}$ ，值域是 $(-\infty,+\infty)$ ，最小正周期是 $\pi$ ，在定义域 上是奇函数 (见图1-25)；

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271201.png)

正割、余割函数与余弦、正弦函数的关系式为

$$
y=\sec x=\frac{1}{\cos x}, \quad y=\csc x=\frac{1}{\sin x}
$$

### 反三角函数
定义 1 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的正弦函数的反函数记作 $y=\arcsin x$
定义域为 $[-1,1]$ ，值域为 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，称为反正弦函数 (见图1-26).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271202.png)

定义2 在区间 $[0, \pi]$ 上的余弦函数的反函数记作 $y=\arccos x$ ， 定义域为 $[-1,1]$ ，值域为 $[0, \pi]$ ，称为反余弦函数(见图1-27).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271203.png)

反三角函数有如下一个重要性质
$$
\boxed{
\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} 
}
$$

这样，$ \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x $ 如果两边求导或者积分，就可以把反余弦转换为反正弦计算。

> 因为高中已经不再介绍反三角函数，请到 [反三角函数教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1422) 自行学习

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