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高等数学
第一章 函数、连续与极限
复合函数
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2025-03-28 18:59
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复合函数
## 复合函数 我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成 的，并可以用一个算式表示的函数统称为**初等函数**. 例如 $y=\sin \frac{1}{x}, y=\sqrt{x^2-1}$ 都是初等函数，本书中讨论的函数基本上都是初等函数. `例` 设 $f(x)=2^x, g(x)=\frac{1}{1-x}, x \neq 0, x \neq 1$ ，求 $f[g(x)], g[f(x)]$ 和 $f[f(x)]$. 解 $$ \begin{aligned} & \quad f[g(x)]=2^{g(x)}=2^{\frac{1}{1-x}} \quad(x \neq 1) \\ & \quad g[f(x)]=\frac{1}{1-f(x)}=\frac{1}{1-2^x} \quad(x \neq 0) \\ & \quad f[f(x)]=2^{f(x)}=2^{2^x} \quad(x \in \mathrm{R}) \end{aligned} $$ `例` 求函数 $y=\sqrt{\ln \left(x^2-3\right)}$ 的定义域. 解 所给函数由 $y=\sqrt{u}, u=\ln v, v=x^2-3$ 复合而成. $y=\sqrt{u}$ 的定义域是 $u \geq 0$ ， 即 $\ln v \geq 0$ ，从而 $v=x^2-3 \geq 1$ ， 解这个关于 $x$ 的不等式，得 $|x| \geq 2$ ， 因此，函数 $y=\sqrt{\ln \left(x^2-3\right)}$ 的定义域为 $(-\infty,-2] \cup[2,+\infty)$. `例` 设 $f(x)$ 的定义域是 $(0,1)$ ，求 $f(\sin x)$ 的定义域. 解 函数 $f(\sin x)$ 由 $f(u), u=\sin x$ 复合而成. 因为 $f(u)$ 的定义域为 $(0,1)$ ，故必有 $u=\sin x$ 的值域是 $(0,1)$ ，即 $\sin x \in(0,1)$. 因此， 开区间 $x \in(2 n \pi,(2 n+1) \pi), n \in Z$ 的并即为 $f(\sin x)$ 的定义域.
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