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高等数学
第一章 函数、连续与极限
数列的极限
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2024-10-02 20:26
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数列的极限
## 数列极限的引入 数列 $\left\{x_n\right\}: x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots$ 我们把这无穷多个数排成的序列称为数列, 其中 $x_1$ 称为数列的首项, $x_n$ 称为数列的第 $n$ 项,或称为数列的一般项 (通项). 等差数列 $\left\{x_n\right\}$ : 公差 $d=x_n-x_{n-1} \in R$ ,通项公式为 $x_n=x_1+(n-1) d$ ,前 $n$ 项 求和公式为 $S_n=\frac{n\left(x_1+x_n\right)}{2}$. 等比数列 $\left\{x_n\right\}$ : 公比 $q=\frac{x_n}{x_{n-1}}$ , 通项公式为 $x_n=x_1 \cdot q^{n-1}$ ,前 $n$ 项求和公式 为 $S_n=\frac{x_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$. **数列极限的引入** 一尺之棰,日取其半,万世不竭. ——庄子 · 天篇 一尺长的木棍, 每天截掉一半, 每天截取的长度按照天数可排成一个数列: $$ \frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \ldots, \frac{1}{2^n}, \ldots \text {, } $$ 数列的通项为 $\frac{1}{2^n}$ ,当 $n$ 无限增大(记作 $n \rightarrow \infty$, 读作 $n$ 趋于无穷大)时, $\frac{1}{2^n}$ 无限接 近一个确定的数 0 . 在数学上称这个确定的数 0 是数列 $\left\{\frac{1}{2^n}\right\}$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时的极限. 解决实际问题时, 经常用到极限方法. 极限方法作为高等数学中的一种基本方法, 很有必要做进一步详细的讨论. 先看下面的 4 个数列. (1) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots$; (2) $1,3,3^2, \ldots, 3^{n-1}, \ldots$; (3) $1,-1,1, \ldots,(-1)^{n-1}, \ldots$; (4) $2, \frac{1}{2}, \frac{4}{3}, \ldots, \frac{n+(-1)^{n-1}}{n}, \ldots$; 它们的一般项依次为 $$ \frac{1}{n}, 3^{n-1},(-1)^{n-1}, \frac{n+(-1)^{n-1}}{n} \text {. } $$ 在几何上,数列 $x_n$ 可看作数轴上的一个动点, 如图1-35所示 , ![图片](/uploads/2022-12/image_202212271246.png) 它依次取数轴上的点 $x_1 , x_2, x_3, \ldots, x_n \ldots$ 按函数的定义, 数列 $\left\{x_n\right\}$ 可看作自变量为正整数 $n$ 的函数, 即 $x_n=f(n)$ , 它的定义域是全体正整数,当自变量 $n$ 依次取 $1,2,3, \cdots$ 时,对应的函数值就排列 成数列 $\left\{x_n\right\}$. 现在我们所关心的问题是: (1) 给定一个数列后,该数列的变化趋势如何? 随着 $n$ 的无限增大, $x_n$ 能否无限 接近某个常数? (2) 如果能无限接近某个确定的数,则该常数是多少? ## 数列极限的定义 设 $\left\{x_n\right\}$ 为一数列,如果存在一个常数 $a \in R ,$ 对于任意给定的正数 $\varepsilon ,$ 总存在一 个正整数 $N$ ,使得对于 $n>N$ 时的一切 $n$ , 不等式 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 均成立,则称常数 $a$ 是数列 $x_n$ 的极限,或者称数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ , 记作 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \text { ,或 } x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty) \text {. } $$ 如果这样的常数 $a$ 不存在,就称数列没有极限,或称数列发散. 我们用 “ $\forall$ " 表示 “任意的", 用 “ $\exists$ " 表示 “存在", 就可以用更简洁 的语言来描述数列的极限. 如果 $\forall \varepsilon>0 , \exists N \in Z^{+}$,当 $n>N$ 时,恒有 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$. 注 (1) 定义中, $\varepsilon$ 刻画了 $x_n$ 和 $a$ 的接近程度, $\varepsilon$ 的 “任意” 性极其重要. 只有这样, $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 才能体现 $x_n$ 和 $a$ 的 “无限接近" ; (2) 正整数 $N$ 与任意给定的正数 $\varepsilon$ 有关. 对于给定的 $\varepsilon ,$ 相应的 $N$ 不是唯 的, 即只要其存在, 并没有要求其达到最小; (3) 由定义也可看出, $\left\{x_n\right\}$ 的极限是否存在仅与它的发展趋势有关. 只要从 某项 $N$ 开始, $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 即可,与前有限项的变化无关. 下面给出 “数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限为 $a$ " 的几何解释. 若在数轴上标出 $x_1, x_2 , \ldots , x_{n^{\prime}} \ldots$ 及 $a$ , 再作 $a$ 的 $\varepsilon$ 邻域 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ (见图1-36), ![图片](/uploads/2022-12/image_202212271248.png) 就会发现,当 $n>N$ 时,点 $\left\{x_n\right\}$ 均落在 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ 内,至多有有限个 $(N$ 个落在 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ 外. 必须指出, 数列的定义可用于验证 $a$ 是数列 $x_n$ 的极限, 但却无法用于求极限。 例 1 已知 $x_n=\frac{1}{n}$ ,证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$. 证明 $\forall \varepsilon>0 ,$ 要使 $$ \left|x_n-0\right|=\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\varepsilon $$ 即 $n>\frac{1}{\varepsilon}$ ,取 $N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$ ,则当 $n>N$ 时,恒有 $\left|x_n-0\right|<\varepsilon$ ,故数列 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 的极限为 0 , 即 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 $$ 例2 已知 $x_n=\frac{1}{2^n}$ 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$. 证明 $\forall \varepsilon>0$, (不妨设 $\varepsilon<1$ 想想为什么可以这样假设. ) 要使 $$ \left|x_n-0\right|=\left|\frac{1}{2^n}-0\right|=\frac{1}{2^n}<\varepsilon $$ 即 $2^n>\frac{1}{\varepsilon}$ ,等式两端同时取对数, $n \ln 2>\ln \frac{1}{\varepsilon^{\prime}}$ 从而 $n>\frac{\ln \frac{1}{\varepsilon}}{\ln 2^{\prime}}$, 取 $N=\left[\frac{\ln \frac{1}{\varepsilon}}{\ln 2}\right]+1$ ,则当 $n>N$ 时,恒有 $\left|x_n-0\right|<\varepsilon$ ,故数列 $\left\{\frac{1}{2^n}\right\}$ 的极限为 0 ,即 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n}=0 $$ 由例2的证明可以发现:对于任意的 $0<|q|<1$ ,都有 $\lim _{n \rightarrow \infty} q^n=0$. 请感兴趣的读者自行 证明.
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