最后更新: 2025-03-29 07:58 查看: 736 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

数列的极限

## 数列
数列 $\left\{x_n\right\}: x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots$ 我们把这无穷多个数排成的序列称为数列， 其中 $x_1$ 称为数列的首项， $x_n$ 称为数列的第 $n$ 项，或称为数列的一般项 (通项).

**等差数列** $\left\{x_n\right\}$ : 公差 $d=x_n-x_{n-1} \in R$ ，通项公式为 $x_n=x_1+(n-1) d$ ，前 $n$ 项 求和公式为 $S_n=\frac{n\left(x_1+x_n\right)}{2}$.

**等比数列** $\left\{x_n\right\}$ : 公比 $q=\frac{x_n}{x_{n-1}}$ ， 通项公式为 $x_n=x_1 \cdot q^{n-1}$ ，前 $n$ 项求和公式 为 $S_n=\frac{x_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

## 数列极限的引入

一尺之棰，日取其半，万世不竭. —— 《庄子 · 天篇》

一尺长的木棍， 每天截掉一半， 每天截取的长度按照天数可排成一个数列:

$$
\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \ldots, \frac{1}{2^n}, \ldots \text {, }
$$

数列的通项为 $\frac{1}{2^n}$ ，当 $n$ 无限增大(记作 $n \rightarrow \infty$, 读作 $n$ 趋于无穷大)时， $\frac{1}{2^n}$ 无限接 近一个确定的数 0 . 在数学上称这个确定的数 0 是数列 $\left\{\frac{1}{2^n}\right\}$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时的极限.

解决实际问题时， 经常用到极限方法. 极限方法作为高等数学中的一种基本方法， 很有必要做进一步详细的讨论. 先看下面的 4 个数列.
(1) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots$;
(2) $1,3,3^2, \ldots, 3^{n-1}, \ldots$;
(3) $1,-1,1, \ldots,(-1)^{n-1}, \ldots$;
(4) $2, \frac{1}{2}, \frac{4}{3}, \ldots, \frac{n+(-1)^{n-1}}{n}, \ldots$;
它们的一般项依次为

$$
\frac{1}{n}, 3^{n-1},(-1)^{n-1}, \frac{n+(-1)^{n-1}}{n} \text {. }
$$

在几何上，数列  $x_n$     可看作数轴上的一个动点， 如图1-35所示 ，

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271246.png)

它依次取数轴上的点 $x_1 ， x_2, x_3, \ldots, x_n \ldots$
按函数的定义， **数列 $\left\{x_n\right\}$ 可看作自变量为正整数 $n$ 的函数**， 即 $x_n=f(n)$ ， 它的定义域是全体正整数，当自变量 $n$ 依次取 $1,2,3, \cdots$ 时，对应的函数值就排列 成数列 $\left\{x_n\right\}$.

现在我们所关心的问题是:
(1) 给定一个数列后，该数列的变化趋势如何? 随着 $n$ 的无限增大， $x_n$ 能否无限 接近某个常数?
(2) 如果能无限接近某个确定的数，则该常数是多少?

## 数列极限的定义
设 $\left\{x_n\right\}$ 为一数列，如果存在一个常数 $a \in R ，$ 对于任意给定的正数 $\varepsilon ，$ 总存在一 个正整数 $N$ ，使得对于 $n>N$ 时的一切 $n$ ， 不等式 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 均成立，则称常数 $a$ 是数列 $x_n$ 的极限，或者称数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ ， 记作

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \text { ，或 } x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty) \text {. }
$$

如果这样的常数 $a$ 不存在，就称数列没有极限，或称数列发散.

> 我们用 “ $\forall$ " 表示 “任意的"， 用 “ $\exists$ " 表示 “存在"， 就可以用更简洁 的语言来描述数列的极限.

如果 $\forall \varepsilon>0 ， \exists N \in Z^{+}$，当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$.

注 (1) 定义中， $\varepsilon$ 刻画了 $x_n$ 和 $a$ 的接近程度， $\varepsilon$ 的 “任意” 性极其重要. 只有这样， $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 才能体现 $x_n$ 和 $a$ 的 “无限接近" ；
(2) 正整数 $N$ 与任意给定的正数 $\varepsilon$ 有关. 对于给定的 $\varepsilon ，$ 相应的 $N$ 不是唯 的， 即只要其存在， 并没有要求其达到最小；
(3) 由定义也可看出， $\left\{x_n\right\}$ 的极限是否存在仅与它的发展趋势有关. 只要从 某项 $N$ 开始， $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 即可，与前有限项的变化无关.

下面给出 “数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限为 $a$ " 的几何解释.
若在数轴上标出 $x_1, x_2 ， \ldots ， x_{n^{\prime}} \ldots$ 及 $a$ ，
再作 $a$ 的 $\varepsilon$ 邻域 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ (见图1-36)，

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271248.png)

就会发现，当 $n>N$ 时，点 $\left\{x_n\right\}$ 均落在 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ 内，至多有有限个 $(N$ 个落在 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ 外.
必须指出， 数列的定义可用于验证 $a$  是数列 $x_n$   的极限， 但却无法用于求极限。

`例` 已知 $x_n=\frac{1}{n}$ ，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$.
证明 $\forall \varepsilon>0 ，$ 要使

$$
\left|x_n-0\right|=\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\varepsilon
$$

即 $n>\frac{1}{\varepsilon}$ ，取 $N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$ ，则当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-0\right|<\varepsilon$ ，故数列 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 的极限为 0 ， 即

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0
$$

`例`已知 $x_n=\frac{1}{2^n}$ 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$.
证明 $\forall \varepsilon>0$, (不妨设 $\varepsilon<1$ 想想为什么可以这样假设. ) 要使

$$
\left|x_n-0\right|=\left|\frac{1}{2^n}-0\right|=\frac{1}{2^n}<\varepsilon
$$

即 $2^n>\frac{1}{\varepsilon}$ ，等式两端同时取对数， $n \ln 2>\ln \frac{1}{\varepsilon^{\prime}}$ 从而 $n>\frac{\ln \frac{1}{\varepsilon}}{\ln 2^{\prime}}$, 取 $N=\left[\frac{\ln \frac{1}{\varepsilon}}{\ln 2}\right]+1$ ，则当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-0\right|<\varepsilon$ ，故数列 $\left\{\frac{1}{2^n}\right\}$ 的极限为 0 ，即

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n}=0
$$

由例2的证明可以发现：对于任意的 $0<|q|<1$ ，都有 $\lim _{n \rightarrow \infty} q^n=0$. 请感兴趣的读者自行 证明.

## 收敛数列的性质

收敛数列具有以下重要性质：

### 唯一性
• **定理内容**：若数列$\{x_{n}\}$收敛，则它的极限是唯一的。即若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a$且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=b$，那么$a = b$。
• **证明思路**：采用反证法。假设$a\neq b$，根据实数的性质，存在正数$\varepsilon=\frac{|a - b|}{2}$。因为$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a$，所以存在正整数$N_{1}$，当$n > N_{1}$时，有$|x_{n}-a|<\varepsilon$；又因为$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=b$，所以存在正整数$N_{2}$，当$n > N_{2}$时，有$|x_{n}-b|<\varepsilon$。取$N=\max\{N_{1},N_{2}\}$，当$n > N$时，利用绝对值不等式$|a - b|=|(x_{n}-a)-(x_{n}-b)|\leq|x_{n}-a|+|x_{n}-b|$推出矛盾，从而证明$a = b$。

> 记住特列： $x_n=(-1)^n$ 可以看到当$n$取无穷大值，其值在1,-1之间来回跳动，所以他不是唯一的，因此他是发散数列。

### 有界性
• **定理内容**：若数列$\{x_{n}\}$收敛，则数列$\{x_{n}\}$一定有界。即存在正数$M$，使得对于一切正整数$n$，都有$|x_{n}|\leq M$。
• **证明思路**：设$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a$，根据数列极限的定义，对于$\varepsilon = 1$，存在正整数$N$，当$n > N$时，有$|x_{n}-a|<1$。由绝对值不等式$|x_{n}|=|(x_{n}-a)+a|\leq|x_{n}-a|+|a|<1 + |a|$。取$M=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\cdots,|x_{N}|,1 + |a|\}$，则对于一切正整数$n$，都有$|x_{n}|\leq M$。
• **注意事项**：有界性是数列收敛的必要不充分条件，即有界数列不一定收敛，例如数列$\{(-1)^{n}\}$是有界的，但它并不收敛。

> 记住特列： $x_n=(-1)^n$  收敛一定有界，但是有界不一定收敛。

### 保号性
• **定理内容**：
    ◦ 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a$，且$a>0$（或$a < 0$），则存在正整数$N$，当$n > N$时，都有$x_{n}>0$（或$x_{n}<0$）。
    ◦ 若存在正整数$N$，当$n > N$时，$x_{n}\geq0$（或$x_{n}\leq0$），且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a$，那么$a\geq0$（或$a\leq0$）。
• **证明思路**：
    ◦ 以$a>0$为例，取$\varepsilon=\frac{a}{2}$，因为$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a$，所以存在正整数$N$，当$n > N$时，有$|x_{n}-a|<\varepsilon=\frac{a}{2}$，即$-\frac{a}{2}<x_{n}-a<\frac{a}{2}$，从而$x_{n}>a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}>0$。
    ◦ 对于$x_{n}\geq0$推出$a\geq0$，采用反证法，假设$a < 0$，由前面的结论可知，存在正整数$N_{1}$，当$n > N_{1}$时，$x_{n}<0$，这与已知条件矛盾，所以$a\geq0$。

> 保号性在无穷级数里会进一步研究。可以参考[交错调和级数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1845)

### 保不等式性
• **定理内容**：设$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a$，$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=b$，若存在正整数$N$，当$n > N$时，有$x_{n}\leq y_{n}$，则$a\leq b$。
• **证明思路**：令$z_{n}=y_{n}-x_{n}$，则$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}z_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(y_{n}-x_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=b - a$。因为当$n > N$时，$z_{n}=y_{n}-x_{n}\geq0$，根据保号性可知$b - a\geq0$，即$a\leq b$。

### 子数列的收敛性
• **定理内容**：如果数列$\{x_{n}\}$收敛于$a$，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是$a$。
• **证明思路**：设$\{x_{n_{k}}\}$是数列$\{x_{n}\}$的任一子数列。因为$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a$，所以对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数$N$，当$n > N$时，有$|x_{n}-a|<\varepsilon$。又因为$n_{k}\geq k$，所以取$K = N$，当$k > K$时，$n_{k}>N$，从而有$|x_{n_{k}}-a|<\varepsilon$，即$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}x_{n_{k}}=a$。
• **推论**：如果数列$\{x_{n}\}$有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列$\{x_{n}\}$发散。例如数列$\{(-1)^{n}\}$，它的奇数项子数列$\{(-1)^{2k - 1}\}$收敛于$-1$，偶数项子数列$\{(-1)^{2k}\}$收敛于$1$，所以数列$\{(-1)^{n}\}$发散。
> 简单的说，子承父业

利用有界性计算极限，参考下图
`例` 设 $x_1=1, x_n=1+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+1}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
解 $x_1=1, x_2=1+\frac{x_1}{x_1+1}=1+\frac{1}{2}>x_1$ ，设 $x_n>x_{n-1}$ ，验证 $x_{n+1}>x_n$ ．
因 $x_{n+1}-x_n=1+\frac{x_n}{1+x_n}-\left(1+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}\right)=\frac{x_n-x_{n-1}}{\left(1+x_n\right)\left(1+x_{n-1}\right)}>0$ ，所以 $\left\{x_n\right\}$ 单增．又 $x_n=1+\frac{\left(x_{n-1}+1\right)-1}{x_{n-1}+1}=2-\frac{1}{x_{n-1}+1}<2,\left\{x_n\right\}$ 有上界，故 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在．设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=l$ ，在 $x_n=1+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+1}$ 两边取 $n \rightarrow \infty$ 时的极限，得

$ l=1+\frac{l}{l+1} \Rightarrow l_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, l_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $
舍去复数，所以

$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $

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