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偏度系数与峰度系数

利用直方图可以看出数据的分布是否对称。对于不对称的分布，要想知道不对称程度则需要计算相应的描述统计量。偏度系数和峰度系数就是对分布不对称程度和峰值高低的一种度量。

> 本节内容已经搬移到 [炬、协方差矩阵、偏度系数、峰度系数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=557)

## 偏度系数
偏度（skewness）是指数据分布的不对称性，这一概念由统计学家皮尔逊（K．Pearson）于 1895 年首次提出。测度数据分布不对称性的统计量称为偏度系数（coefficient of skew－ ness），记为 $S K$ 。根据原始数据计算偏度系数时，

> **偏度**是描述数据分布**不对称性**方向和程度的统计量。它衡量的是概率分布相对于其平均值的不对称程度。偏度系数是量化这种偏斜程度的数值指标

偏度的三种类型

### a. 零偏度（对称分布）
*   均值 = 中位数 = 众数
*   分布形态左右对称，如正态分布。
*   **偏度系数 ≈ 0**

### b. 正偏态（右偏分布）
*   分布右侧有长尾，大部分数据集中在左侧。
*   统计关系：**众数 < 中位数 < 均值**
*   均值被右侧的极端值（大值）拉高。
*   **偏度系数 > 0**
*   **例子**：个人收入分布（少数人收入极高）、房价。

### c. 负偏态（左偏分布）
*   分布左侧有长尾，大部分数据集中在右侧。
*   统计关系：**均值 < 中位数 < 众数**
*   均值被左侧的极端值（小值）拉低。
*   **偏度系数 < 0**
*   **例子**：考试成绩（多数人高分，少数人极低分）、死亡率（多数人在高龄死亡）。

### 计算公式
最常用的定义是**皮尔逊矩偏度系数**（Pearson's moment coefficient of skewness）：

$$
g_1 = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^3}{\left[ \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} \right]^3}
$$

其中：
* $ n $ 是样本量
* $ X_i $ 是每个观测值
* $ \bar{X} $ 是样本均值
* 分母部分本质上是样本标准差的立方 $ (s^3) $

**理解**：分子是三阶中心矩，它度量了数据偏离均值的方向和立方距离。立方运算保留了符号（正负），因此能反映不对称的方向。

> **偏度系数的绝对值越大，表示偏斜程度越严重，偏度系数对极端值非常敏感，因为计算中涉及三次方**。

例如 假设有两组数据：
*   **组A（正偏）**：`[1, 2, 3, 4, 5, 9, 20]`
    *   均值 = 6.29， 中位数 = 4， 众数 = 无（或所有值）
    *   偏度系数 > 0 （因为有`20`这个极大值）
*   **组B（负偏）**：`[1, 8, 9, 10, 10, 11, 12]`
    *   均值 = 8.71， 中位数 = 10， 众数 = 10
    *   偏度系数 < 0 （因为有`1`这个极小值）

通常采用下面的简化公式：

$$
S K=\frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum\left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^3
$$

当数据对称分布时，偏度系数等于 0 。

> **量化交易的范围很大，经常用到峰度系数和偏度系数。首先，我们要理解峰度系数和偏度系数的含义。这两个系数都是在描述一个分布的形状：峰度系数越大，表示观测到的值越集中（如图一，$\beta>0$ ）；偏度系数的绝对值越大，表示观测到的值在正向或负向的偏离度越大（此时中位数和平均值出现显著偏离）。 参考下图**

![图片](/uploads/2025-12/38e608.jpg){width=300px}
 峰度系数示例
 
  ![图片](/uploads/2025-12/f175a0.jpg)

偏度系数越接近 0 ，偏斜程度就越低，就越接近对称分布。如果偏度系数明显不等于 0 ，表示分布是非对称的。若偏度系数大于 1 或小于 -1 ，视为严重偏斜分布；若偏度系数在 $0.5 \sim 1$ 或 $-1 \sim-0.5$ 之间，视为中等偏斜分布；偏度系数在 $0 \sim 0.5$ 或 $-0.5 \sim 0$ 之间时，视为轻微偏斜。其中负值表示左偏分布（在分布的左侧有长尾），正值则表示右偏分布（在分布的右侧有长尾）。

## 峰度系数
峰度（kurtosis）是指数据分布峰值的高低，这一概念由统计学家皮尔逊于 1905 年首次提出。测度一组数据分布峰值高低的统计量称为峰度系数（coefficient of kurtosis），记作 $K$ 。根据原始数据计算峰度系数时，通常采用下面的公式：

$$
K=\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \sum\left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4-\frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)}
$$

>**峰度衡量的是概率分布的“峰态”，更准确地说，它衡量的是分布尾部相对于正态分布的厚重程度**。

一个极其重要的关键点需要先澄清：
**峰度主要反映的是尾部的厚重程度，而不仅仅是“尖峰”或“扁平”。尾部厚重的分布，其极端值（离群值）出现的概率比正态分布更高。**

### a. 常峰态（中峰态）
*   **超值峰度 ≈ 0**
*   分布尾部的厚重程度与**正态分布**相似。
*   **例子**：正态分布本身。

### b. 尖峰态（高狭峰、厚尾分布）
*   **超值峰度 > 0**
*   **分布有更厚重的尾部**和更尖锐的峰顶。这意味着：
    1.  数据在均值附近更集中（形成尖峰）。
    2.  **同时**，出现极端值（远离均值的值）的概率比正态分布更高（形成厚尾）。
*   直观感受：分布比正态分布“更极端”。
*   **例子**：**学生t分布**（自由度较低时）、金融收益率数据（常出现暴涨暴跌）。

### c. 低阔峰态（薄尾分布）
*   **超值峰度 < 0**
*   **分布有更轻薄的尾部**和更平缓的峰顶。这意味着：
    1.  数据在均值附近更分散（形成平峰）。
    2.  **同时**，出现极端值的概率比正态分布更低（形成薄尾）。
*   直观感受：分布比正态分布“更温和”。
*   **例子**：**均匀分布**、某些有边界限制的过程（如掷骰子的点数）。

![图片](/uploads/2025-12/571876.jpg)
 峰度系数
 
通常我们将峰度值减去3，也被称为超值峰度（Excess Kurtosis），这样正态分布的峰度值等于0，当峰度值>0，则表示该数据分布与正态分布相比较为高尖，当峰度值<0，则表示该数据分布与正态分布相比较为矮胖。

> **峰度系数**（通常指超值峰度）是一个描述数据分布**尾部特征**的关键统计量。
*   **> 0 (尖峰厚尾)**：数据更倾向出现极端值，风险可能更高（如金融数据）。
*   **≈ 0 (常峰态)**：尾部与正态分布类似。
*   **< 0 (低阔峰薄尾)**：数据更集中，极端值较少。

下表显示30个人每月网购数据。
 ![图片](/uploads/2025-02/2bc025.jpg)
 
沿用上表。计算 30 个消费者每月网购金额的偏度系数和峰度系数。
－解 根据式（4．17）得偏度系数为：

$$
\begin{aligned}
S K & =\frac{30}{(30-1)(30-2)} \sum\left(\frac{x_i-488.95}{97.62}\right)^3 \\
& =\frac{30}{(30-1)(30-2)} \times 9.217966 \\
& =0.3406
\end{aligned}
$$

结果表示，网购金额为轻微的右偏。
根据式（4．18）得峰度系数为：

$$
\begin{aligned}
K & =\frac{30 \times(30+1)}{(30-1)(30-2)(30-3)} \sum\left(\frac{x_i-488.95}{97.62}\right)^4-\frac{3 \times(30-1)^2}{(30-2)(30-3)} \\
& =-0.4075
\end{aligned}
$$

简单比喻
**偏度**：描述这只动物重心偏向哪一侧（左偏/右偏）。
**峰度**：描述这只动物尾巴是粗壮还是细长（厚尾/薄尾），连带影响了它身体的“厚实”程度（峰顶高低）。

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