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概率论与数理统计
第六篇 统计量和抽样分布
偏度系数与峰度系数
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2025-02-20 22:36
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偏度系数与峰度系数
利用直方图可以看出数据的分布是否对称。对于不对称的分布，要想知道不对称程度则需要计算相应的描述统计量。偏度系数和峰度系数就是对分布不对称程度和峰值高低的一种度量。 ## 偏度系数 偏度（skewness）是指数据分布的不对称性，这一概念由统计学家皮尔逊（K．Pearson）于 1895 年首次提出。测度数据分布不对称性的统计量称为偏度系数（coefficient of skew－ ness），记为 $S K$ 。根据原始数据计算偏度系数时，通常采用下面的公式： $$ S K=\frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum\left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^3 $$ 当数据对称分布时，偏度系数等于 0 。偏度系数越接近 0 ，偏斜程度就越低，就越接近对称分布。如果偏度系数明显不等于 0 ，表示分布是非对称的。若偏度系数大于 1 或小于 -1 ，视为严重偏斜分布；若偏度系数在 $0.5 \sim 1$ 或 $-1 \sim-0.5$ 之间，视为中等偏斜分布；偏度系数在 $0 \sim 0.5$ 或 $-0.5 \sim 0$ 之间时，视为轻微偏斜。其中负值表示左偏分布（在分布的左侧有长尾），正值则表示右偏分布（在分布的右侧有长尾）。 ## 峰度系数 峰度（kurtosis）是指数据分布峰值的高低，这一概念由统计学家皮尔逊于 1905 年首次提出。测度一组数据分布峰值高低的统计量称为峰度系数（coefficient of kurtosis），记作 $K$ 。根据原始数据计算峰度系数时，通常采用下面的公式： $$ K=\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \sum\left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4-\frac{3(n-
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