最后更新: 2026-01-02 09:11 查看: 400 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

统计量、样本均值与样本方差★★★★★

样本来自总体，因此样本中含有总体各方面的信息，但这些信息较为分散，有时显得杂乱无章。为将这些分散在样本中的有关总体的信息集中起来以反映总体的各种特征，需要对样本进行加工，表和图是一类加工形式，它使人们从中获得对总体的初步认识．当人们需要从样本获得对总体各种参数的认识时，更有效的加工方法是构造样本的函数，不同的样本函数反映总体的不同特征．

## 统计量
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$T=T\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是 $X_1, X_2, \cdots, X_n$的函数，若 $T$ 中不含任何末知参数，则称 $T$ 是一个**统计量**。设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是相应于样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本值，则称 $T\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 是 $T\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的**观察值**。

按照这一定义，若 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为样本，则 $\sum_{i=1}^n x_i, \sum_{i=1}^n x_i^2$都是统计量．而当 $\mu, \sigma^2$ 未知时，$x_1-\mu, x_1 / \sigma$ 等均不是统计量．必须指出的是：尽管统计量不依赖于未知参数，但是它的分布是依赖于未知参数的．

`例` 设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 已知，$\sigma^2$ 未知，$\left(X_1, X_2, X_3\right)$ 为样本，则下列表达式中不是统计量的为
A. $X_1+X_2+X_3$
B. $\min \left(X_1, X_2, X_3\right)$
C. $X_1+2 \mu$
D. $\sum_{i=1}^3 \frac{X_i^2}{\sigma^2}$

解： 已知条件： 总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $  
 $ \mu $ 已知  ， $ \sigma^2 $ 未知  ，样本 $ X_1, X_2, X_3 $

(A) $ X_1 + X_2 + X_3 $  
只依赖于样本，不含未知参数 → 是统计量。

(B) $ \min(X_1, X_2, X_3) $  
只依赖于样本，不含未知参数 → 是统计量。

(D) $\sum_{i=1}^3 \frac{X_i^2}{\sigma^2}$  
这里 $\sigma^2$ 未知，出现在分母中，说明表达式含有未知参数 $\sigma^2$ → 不是统计量。
故选择D

## 常见统计量

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是这一样本的观察值．定义
（1）样本均值： $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ；
（2）样本方差：$S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ；
（3）样本标准差：$S=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2}$ ；
（4）样本（ $k$ 阶）原点矩：$A_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k, k=1,2, \cdots$ ；
（5）样本（ $k$ 阶）中心矩：$B_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^k, k=2,3, \cdots$ 。
注意：上述 5 种统计量可统称为**矩统计量**，简称为**样本矩**，它们都是样本的显示函数。

（6）**顺序统计量**：将样本中的各分量按由小到大的次序排列成

$$
X_{(1)} \leqslant X_{(2)} \leqslant \cdots \leqslant X_{(n)},
$$

则称 $X_{(1)}, X_{(2)}, \cdots, X_{(n)}$ 为样本的一组顺序统计量，$X_{(i)}$ 称为样本的第 $i$ 个顺序统计量．特别地，称 $X_{(1)}$ 与 $X_{(n)}$ 分别为样本极小值与样本极大值，并称 $X_{(n)}-X_{(1)}$ 为样本的**极差**．

## 样本均值
假设有一组学生，身高分别是 $160,162,165,165,168$ 我要求他的平均身高，只要把这几个数加起来，除以个数即可，即
$$
\bar{x}=(160+162+165+165+168)/5=164
$$

由此可得样本均值的定义：

**样本均值** $\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$

**样本分组均值** 在分组样本场合，样本均值的近似公式为

$$
\bar{x}=\dfrac{x_1 f_1+x_2 f_2+\cdots+x_k f_k}{n} \
$$

其中 $k$ 为组数，$x_i$ 为第 $i$ 组的组中值，$f_i$ 为第 $i$ 组的频数．

如何理解样本分组后的均值？简单的理解，就是“加权平均数”，比如电视直播歌手比赛，专业评委和观众都可以打分，同样是打9分，专业评委的权重会比观众的权重要高，因此，此时计算分数，就使用了加权平均数。

`例` 某单位收集到 20 名青年人某月的娱乐支出费用数据：
$$
\begin{array}
790 & 840 & 840 & 880 & 920 & 930 & 940 & 970 & 980 & 990 \\
1000 & 1010 & 1010 & 1020 & 1020 & 1080 & 1100 & 1130 & 1180 & 1250
\end{array}
$$
 则该月这 20 名青年的平均娱乐支出为

$$
\bar{x}=\frac{1}{20}(790+840+\cdots+1250)=994 .

其他版本
【概率论与数理统计】方差和标准差的定义

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