最后更新: 2025-02-20 22:34 查看: 403 次反馈同步训练

全距、四分位距、方差、标准差

描述样本数据离散程度的统计量主要有全距，四分位距，方差，标准差以及测度相对离散程度的离散系数等。

##  全距和四分位距

### 全距
全距（range）是一组数据的最大值与最小值之差，也称极差，用 $R$ 表示。计算公式为：

$$
R=\max (x)-\min (x)
$$

下表显示30个人每月网购数据。
 ![图片](/uploads/2025-02/2bc025.jpg)
 
例如，根据例 4.1 中的数据，计算 30 个消费者每月网购金额的全距为：$R=678.7-$ $303.6=375.1$ 。由于全距只是利用了一组数据两端的信息，容易受极端值的影响，不能全面反映数据的差异状况。虽然全距在实际中很少单独使用，但它总是作为分析数据离散程度的一个参考值。

## 四分位距
四分位距（inter－quartile range）是一组数据 $75 \%$ 位置上的四分位数与 $25 \%$ 位置上的四分位数之差，也称四分位差，用 $I Q R$ 表示。计算公式为：

$$
I Q R=Q_{75 \%}-Q_{25 \%}
$$

四分位距反映了中间 $50 \%$ 数据的离散程度：其数值越小，说明中间的数据越集中，数值越大，说明中间的数据越分散。四分位距不受极值的影响。此外，由于中位数处于数据的中间位置，因此，四分位距的大小在一定程度上也说明了中位数对一组数据的代表程度。例如，根据例 4.1 计算的 30 个消费者每月网购金额的四分位数，$I Q R=547.6-$ $428.525=119.075$ 。

## 方差和标准差
如果考虑每个数据 $x_i$ 与其平均数 $\bar{x}$ 之间的差异，以此作为一组数据离散程度的度量，结果就要比全距和四分位距更为全面和准确。这就需要求出每个数据 $x_i$ 与其平均数 $\bar{x}$ 离差的平均数。但由于 $\left(x_i-\bar{x}\right)$ 之和等于 0 ，需要进行一定的处理。一种方法是将离差取绝对值，求和后再平均，这一结果称为平均差（mean deviation）或称平均绝对离差（mean absolute deviation）；另一种方法是将离差平方后再求平均数，这一结果称为方差（variance）。方差开方后的结果称为标准差（standard deviation）。方差（或标准差）是实际中应用最广泛的测度数据离散程度的统计量。

设样本方差为 $s^2$ ，根据原始数据计算样本方差的公式为：

$$
s^2=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}
$$

样本标准差的计算公式为：

$$
s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}
$$

如果原始数据被分成 $k$ 组，各组的组中值分别为 $m_1, m_2, \cdots, m_k$ ，各组的频数分别为 $f_1, f_2, \cdots, f_k$ ，则加权样本方差的计算公式为
$$
s^2=\frac{\sum_{i=1}^k\left(m_i-\bar{x}\right)^2 f_i}{n-1}
$$

加权样本标准差的计算公式为：

$$
s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^k\left(m_i-\bar{x}\right)^2 f_i}{n-1}}
$$

与方差不同的是，标准差具有量纲，它与原始数据的计量单位相同，其实际意义要比方差清楚。因此，在对实际问题进行分析时更多地使用标准差。

沿用例 4．1表。计算 30 个消费者每月网购金额的方差和标准差。
－•解 根据式（4．11）得：

$$
\begin{aligned}
s^2 & =\frac{(429.0-488.95)^2+(671.2-488.95)^2+\cdots+(625.4-488.95)^2}{30-1} \\
& =9529.6812
\end{aligned}
$$

标准差为 $\sqrt{9529.6812}=97.62$ 。

##  离散系数
标准差是反映数据离散程度的绝对值，其数值的大小受原始数据取值大小的影响，数据

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