最后更新: 2026-01-02 09:16 查看: 472 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

原点矩与中心矩★★★★★

## 原点矩与中心矩

设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是样本，$k$ 为正整数，则统计量

$$
\boxed{
a_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k
}
$$

称为样本 $k$ 阶**原点矩**，特别，样本一阶原点矩就是样本均值．

统计量

$$
\boxed{
b_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^k
}
$$

称为样本 **$k$ 阶中心矩**．

## 理解原点矩和中心距

**原点矩**：关于坐标原点的各阶矩，描述分布整体**偏离原点**的程度；

![图片](/uploads/2026-01/34e08b.jpg){width=400px}
 
 **中心矩**：关于均值点的各阶矩，用来刻画分布的形态（对称性、陡峭程度等）
  ![图片](/uploads/2026-01/fa32e1.jpg){width=400px}

为什么要搞出原点矩和中心矩？如果说用样本估算总体，那我们希望估算的越准确越好。

### 举例说明

假设你要估算全校男生的平均身高，但是不可能全校每个男生身高都测量，所以，你希望抽查50个男生的身高来估算全校男生的平均身高，毫无疑问全校男生有一个平均身高$\bar{X}$,这是一个真实存在的**总体均值**，但是我们不知道，而我们测量50个学生的平均身高$\bar{x}$是一个**样本均值**，我们希望**样本均值无限接近总体均值**，即 $\bar{x}$ 无限接近$\bar{X}$，那么如何判断他俩无限接近呢？
如果
$$
k=1, a_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^1 \quad 和 \quad A_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^1
$$

$$
k=2,a_2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^21 \quad 和 \quad  A_2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2
$$

$$
k=1,b_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^1
 \quad 和 \quad 
B_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^1
$$

$$
k=2, b_2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2
 \quad 和 \quad 
B_2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2
$$

如果样本的k阶矩和总体的k阶矩相等，那么就认为样本无限接近总体。

想象一下高等数学里[泰勒展开](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=304) 我们使用一阶导，二阶导，一直到n阶导拟合曲线。同样，如果样本期望和总体期望相等，样本方差和总体方差相等，样本3阶矩和总体3阶矩相等... 这不是最好的吗？  关于原点矩和中心矩还有矩母函数请点击[附录2](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1551)

### 二阶矩的重要性质
设总体 $X$ 具有二阶矩，即 $E(X)=\mu, D(X)=\sigma^2<+\infty, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的样本， $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别是样本均值与样本方差，证明
（1）$E(\bar{X})=E(X)=\mu$ ；
（2）

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