最后更新: 2026-06-27 15:45 查看: 557 次纠错评论(0) 课件开VIP

原点矩与中心矩★★★★★

## 原点矩与中心矩
### 原点矩
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是样本，$k$ 为正整数，则统计量

$$
\boxed{
\mu_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k
}
$$

称为样本 $k$ 阶**原点矩**，

> 通俗解释：把每一个数据点都取$k$次方，然后求平均。如果是奇数次米，会正负抵消。如果是偶数次幂，会成倍放大数据误差以便于观察比如考试分数平均分是80分，张三考了82分，则2阶中心距误差就是 $(82-80)^2=4$ 放大误差。

根据定义， 我们取几个数据看看他们想表达的是什么意思，分别取$k=1,2,3$

- 1阶原点矩：$\mu_1 = E(X) = \boldsymbol{\mu}$（数学期望，均值）
- 2阶原点矩：$\mu_2 = E(X^2)$
- 3阶原点矩：$\mu_3 = (X_1^3+X^3+...+X^n)/n$

### 中心矩

统计量

$$
\boxed{
b_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^k
}
$$

称为样本 **$k$ 阶中心矩**．

- 1阶中心矩：$\mu_1=E(X-\mu)=E(X)-\mu=0$（恒为0，无意义）
- 2阶中心矩：$\mu_2=E[(X-\mu)^2]=\boldsymbol{D}(X)=\sigma^2$（方差）
- 3阶中心矩：刻画分布**偏度**（左右不对称程度）
- 4阶中心矩：刻画分布**峰度**（陡峭/扁平程度）

## 图解 原点矩和中心距

**原点矩**：关于坐标原点的各阶矩，描述分布整体**偏离原点**的程度；

![图片](/uploads/2026-01/34e08b.jpg){width=400px}
 
 **中心矩**：关于均值点的各阶矩，用来刻画分布的形态（对称性、陡峭程度等）
  ![图片](/uploads/2026-01/fa32e1.jpg){width=400px}

**实际意义**
为什么要搞出原点矩和中心矩？我们用一个简单例子说明他的实际意义。

假设你在分析**用户月消费金额**（单位：元），数据为：$[100, 200, 300]$。

-   **计算原点矩**：
    -   1阶原点矩 = (100+200+300)/3 = **200**（这就是平均消费）。
    -   2阶原点矩 = (10000+40000+90000)/3 ≈ 46666.67。这个数很大，但它包含了“均值”和“波动”的混合信息。
-   **计算中心矩**（先减去均值200，得到偏差：`[-100, 0, 100]`）：
    -   1阶中心矩 = (-100+0+100)/3 = **0**（恒为0，无意义）。
    -   2阶中心矩 = (10000+0+10000)/3 ≈ 6666.67（这就是**方差**，开根号后约等于81.6元，这才是你关心的**波动幅度**）。

**总结一句话：**
原点矩告诉你数据在**绝对位置**上的大小（比如消费水平），中心矩告诉你数据在**相对位置**上的变化（比如消费是否稳定、是否两极分化）。在数据分析中，我们**通常更关注中心矩**（尤其是方差、偏度和峰度），因为它剔除了平均水平的影响，更能反映数据本身的分布形态。

### 进阶

假设你要估算全校男生的平均身高，但是不可能全校每个男生身高都测量，所以，你希望抽查50个男生的身高来估算全校男生的平均身高，毫无疑问全校男生有一个平均身高$\bar{X}$,这是一个真实存在的**总体均值**，但是我们不知道，而我们测量50个学生的平均身高$\bar{x}$是一个**样本均值**，我们希望**样本均值无限接近总体均值**，即 $\bar{x}$ 无限接近$\bar{X}$，那么如何判断他俩无限接近呢？
如果
$$
k=1, a_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^1 \quad 和 \quad A_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^1
$$

$$
k=2,a_2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^21 \quad 和 \quad  A_2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2
$$

$$
k=1,b_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^1
 \quad 和 \quad 
B_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^1
$$

$$
k=2, b_2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2
 \quad 和 \quad 
B_2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2
$$

如果样本的k阶矩和总体的k阶矩相等，那么就认为样本无限接近总体。

想象一下高等数学里[泰勒展开](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=304) 我们使用一阶导，二阶导，一直到n阶导拟合曲线。同样，如果样本期望和总体期望相等，样本方差和总体方差相等，样本3阶矩和总体3阶矩相等... 这不是最好的吗？  关于原点矩和中心矩还有矩母函数请点击[附录2](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1551)

## 几个重要性质
#### 1. 中心矩用原点矩展开（二项式展开）
$$
\mu_k = E\left[\sum_{i=0}^k \mathrm{C}_k^i X^i (-\mu)^{k-i}\right]
=\sum_{i=0}^k \mathrm{C}_k^i (-\mu)^{k-i}\mu_i'
$$
#### 常用低阶公式
1. 二阶中心矩（方差）
$$
\boxed{
\mu_2 = \mu_2' - (\mu_1')^2
\quad\Rightarrow\quad
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 ...(常用)
}
$$
2. 三阶中心矩
$$
\mu_3 = \mu_3' - 3\mu_1'\mu_2' + 2(\mu_1')^3
$$
3. 四阶中心矩
$$
\mu_4 = \mu_4' - 4\mu_1'\mu_3' + 6(\mu_1')^2\mu_2' - 3(\mu_1')^4
$$

####   原点矩用中心矩展开
$$
X = (X-\mu) + \mu
$$
$$
\mu_k' = E\left[\sum_{i=0}^k \mathrm{C}_k^i (X-\mu)^i \mu^{k-i}\right]
=\sum_{i=0}^k \mathrm{C}_k^i \mu^{k-i}\mu_i
$$
 二阶原点矩
$$
\mu_2' = \mu_2 + (\mu_1')^2
$$

`例` 设随机变量 $X$ 的 $E(X)=2$，二阶原点矩 $E(X^2)=9$，则方差 $D(X)=$ 
**解析**：这是送分题。直接套用公式：
$$
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 9 - 2^2 = 5
$$
**答案**：$5$

`例`设随机变量 $X$ 分布律：
$$
\begin{array}{c|ccc}
X & 1 & 2 & 3 \\
\hline
P & 0.2 & 0.3 & 0.5
\end{array}
$$
求： 1、2阶原点矩； 1、2阶中心矩，并验证转换公式。

解： **第一问** 求各阶原点矩 $\mu_k'=E(X^k)$

$$
\begin{aligned}
\mu_1' &= E(X) = 1\times 0.2 + 2\times 0.3 + 3\times 0.5 = \boldsymbol{2.3} \\
\mu_2' &= E(X^2) = 1^2\times 0.2 + 2^2\times 0.3 + 3^2\times 0.5 = \boldsymbol{5.9}
\end{aligned}
$$

**第二问** 求中心矩 $\mu_k=E[(X-\mu_1')^k]$
先算二阶中心矩（方差）：
方法一：定义直接算

$$
\begin{aligned}
\mu_2 &= E[(X-\mu_1')^2] \\
&= (1-2.3)^2\cdot 0.2 + (2-2.3)^2\cdot 0.3 + (3-2.3)^2\cdot 0.5 \\
&= \boldsymbol{0.61}
\end{aligned}
$$

方法二：原点矩转换公式 $\mu_2=\mu_2'-(\mu_1')^2$
$$
\mu_2 = 5.9 - 2.3^2 = 0.61
$$
结果一致。

一阶中心矩：
$$
\mu_1=E(X-\mu_1')=0
$$

`例` 沿用上面 $X$，求三阶中心矩 $\mu_3$
公式：
$$
\mu_3 = \mu_3' - 3\mu_1'\mu_2' + 2(\mu_1')^3
$$
已知 $\mu_3'=16.1,\mu_1'=2.3,\mu_2'=5.9$

$$
\mu_3 = 16.1 - 3\times 2.3\times 5.9 + 2\times 2.3^3 = -0.276
$$
用定义直接计算同样得到 $-0.276$，公式成立。

`例` 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}$（$-\infty < x < +\infty$），求：
1.  $E(X)$ 和 $E(X^2)$；
2.  $E[(X-E(X))^2]$。

**【考研标准书写步骤】**（注意：利用奇偶性简化计算是本题的提速关键）

**解**：

-   **（1）计算一阶原点矩（均值）**
    由于 $x f(x) = \frac{x}{2}e^{-|x|}$ 是 **奇函数**，在对称区间上的积分为 0。
    $$
    E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{2}e^{-|x|} dx = 0
    $$

-   **（2）计算二阶原点矩**
    由于 $x^2 f(x) = \frac{x^2}{2}e^{-|x|}$ 是 **偶函数**。
    $$
    E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{-|x|} dx = 2 \int_{0}^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{-x} dx = \int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-x} dx
    $$
    利用伽马函数 $\Gamma(3)=2! = 2$（或者分布积分），得到：
    $$
    E(X^2) = 2
    $$

**（3）计算二阶中心矩（方差）**
    因为 $E(X)=0$，所以：
    $$
    E\{[X-E(X)]^2\} = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2 - 0 = 2
    $$

### 二阶矩的重要性质
设总体 $X$ 具有二阶矩，即 $E(X)=\mu, D(X)=\sigma^2<+\infty, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的样本， $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别是样本均值与样本方差，证明
（1）$E(\bar{X})=E(X)=\mu$ ；
（2）$D(\bar{X})=\frac{1}{n} D(X)=\frac{\sigma^2}{n}$ ；
（3）$E\left(S^2\right)=D(X)=\sigma^2$ ．

证明：
（1）$E(\bar{X})=E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)=\frac{n \mu}{n}=\mu$ ．
（2）$D(\bar{X})=D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D\left(X_i\right)=\frac{n \sigma^2}{n^2}=\frac{\sigma^2}{n}$ ．
（3）因为 $E\left(X_i^2\right)=D\left(X_i\right)+E^2\left(X_i\right)=\sigma^2+\mu^2$ ，且 $E\left(\bar{X}^2\right)=D(\bar{X})+E^2(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2$ ，所以

$$
\begin{aligned}
E\left(S^2\right) & =\frac{1}{n-1} E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=\frac{1}{n-1} E\left(\sum_{i=1}^n X_i^2-n \bar{X}^2\right) \\
& =\frac{1}{n-1}\left[n \mu^2+n \sigma^2-n\left(\mu^2+\frac{\sigma^2}{n}\right)\right]=\sigma^2
\end{aligned}
$$

> 上面这个例题通俗理解结论：样本均值就是总体均值。 样本方差就是总体方差除以n。特别要注意：方差要除以n。 因为方差反应的是数据的波动性，当你采样越来越多时，方差的误差会越来越小。

`例` 设总体 $X \sim B(m, \theta), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，求 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]$ ．

解 由上面性质可得 $E\left(S^2\right)=D(X)=m \theta(1-\theta)$ ，从而

$$
E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-X\right)^2\right]=E\left[(n-1) S^2\right]=m(n-1) \theta(1-\theta) .
$$

## 理解：原点矩和中心矩

好的，我们用最通俗的方式来解释“原点矩”和“中心矩”。你可以把它们想象成从不同角度**描述一组数据“长什么样”（分布形状）的工具**。

### 核心比喻：一群人的身高

假设我们有一群人，他们的身高分别是：160cm, 165cm, 170cm, 175cm, 180cm。
我们想知道这群人的身高“大概在什么位置”、“是胖还是瘦”、“是对称的吗”。

“矩”就是数学家发明的，用来回答这类问题的“尺子”。

---

### 1. 原点矩 - “从零开始量”

**通俗解释**：原点矩关心的是**每个数据点本身离零点（原点）有多远**。它就像用一把从墙角（零点）开始量的卷尺，去测量每个人，然后计算这些测量结果的平均值，来概括这群人。

**数学定义**：对于一个数据集 $x_1, x_2, ..., x_n$，它的 **k阶原点矩** 是所有数据点的 k 次方，然后求平均。
$$
\text{原点矩} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i)^k}{n}
$$
*   **一阶原点矩 (k=1)**：就是所有数据点的**平均值**。它回答了“这群人平均有多高？”这个问题。
    *   在我们的例子中：$(160+165+170+175+180)/5 = 850/5 = 170$ cm。
    *   **结论**：一阶原点矩告诉我们，这群人身高的“中心”在170cm。

*   **二阶原点矩 (k=2)**：是所有数据点的**平方**的平均值。它不再直接代表高度，而是开始反映数据的某种“能量”或“分散程度”，但它受极端值影响很大。
    *   计算：$ (160^2 + 165^2 + 170^2 + 175^2 + 180^2) / 5 = (28900 + 27225 + 28900 + 30625 + 32400) / 5 = 148050 / 5 = 29610$。
    *   这个数字本身不好解释，但它是一个基础量。

**原点矩的特点**：它直接从数据本身出发，不依赖于某个中心点。它最擅长告诉我们**平均水平（一阶）**。

---

### 2. 中心矩 - “从中心量”

**通俗解释**：中心矩关心的是**每个数据点离它们的“集体中心”（也就是平均值）有多远**。它就像先把所有人的“平均身高线”画出来（170cm那条线），然后用另一把卷尺去量每个人离这条线的距离。它关注的是**围绕中心的分布形状**。

**数学定义**：对于一个数据集，它的 **k阶中心矩** 是每个数据点与它**平均值(μ)** 的差的 k 次方，然后求平均。
$$
\text{中心矩} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^k}{n}
$$
*   **一阶中心矩 (k=1)**：永远是 **0**。因为每个高于平均值的数都有一个低于平均值的数与之对应（在我们的对称例子中），它们互相抵消了。`(160-170) + (180-170) = -10 + 10 = 0`。所以它没有提供新信息。

*   **二阶中心矩 (k=2)**：这就是我们之前讲的**方差**！它衡量的是数据围绕平均值分布的**离散程度（胖瘦）**。我们关心的是距离的**平方**（为了消除正负号，让大的偏差更突出）。
    *   计算：`[(-10)^2 + (-5)^2 + (0)^2 + (5)^2 + (10)^2] / 5 = (100 + 25 + 0 + 25 + 100) / 5 = 250 / 5 = 50`。
    *   **结论**：二阶中心矩为50，说明这群人的身高有相当的分散度。（标准差就是 √50 ≈ 7.07cm）。

*   **三阶中心矩 (k=3)**：衡量分布的**不对称性（偏斜方向）**。
    *   如果三阶中心矩 > 0，分布是**正偏（右偏）**，像一座向右倾斜的山，长长的尾巴在右边（意味着有少数特别高的人把平均值拉高了）。
    *   如果三阶中心矩 < 0，分布是**负偏（左偏）**，像一座向左倾斜的山。
    *   在我们的完美对称例子中，`(-10)^3 + (10)^3 = -1000 + 1000 = 0`，所以三阶中心矩为0，说明分布是对称的。

*   **四阶中心矩 (k=4)**：衡量分布的**尖峭或扁平程度（峰度）**，相对于正态分布而言。
    *   如果四阶中心矩较大，说明数据不仅分散，而且集中在均值附近的高峰处，同时有肥厚的尾部（尖峰厚尾）。
    *   如果四阶中心矩较小，说明数据比较均匀地分散开，形成一个相对扁平的峰。

**中心矩的特点**：它以**平均值**为基准，专门用于描述数据分布的**形状特征**，如胖瘦（方差）、偏斜（偏度）和高矮胖瘦的组合（峰度）。

---

### 总结与对比表格

| 特征 | 原点矩 | 中心矩 |
| :--- | :--- | :--- |
| **核心思想** | **从零点(0)开始量** | **从数据的中心(平均值)开始量** |
| **关注点** | 数据点本身的绝对位置 | 数据点相对于中心的分布情况 |
| **一阶矩** | **平均值**，描述集中趋势 | **永远是0**，无意义 |
| **二阶矩** | 数据平方的平均，不易解释 | **方差**，描述离散程度（胖瘦） |
| **三阶矩** | 数据立方的平均，不易解释 | **偏度**，描述对称性（歪不歪） |
| **四阶矩** | 数据四次方的平均，不易解释 | **峰度**，描述尖峭程度（尖不尖） |
| **关系** | 中心矩可以通过原点矩推导出来。 | 原点矩是基础，中心矩是更专业的“形状分析仪”。 |

**一句话记住**：
*   **原点矩** 告诉你“队伍**站在哪里**”（平均值）。
*   **中心矩** 告诉你“队伍**站得有多散（方差）、有多歪（偏度）、有多挤（峰度）**”。

在实际统计分析中，我们几乎总是更关心**中心矩**，因为它们直接描述了概率分布最重要的形态特征。

其他版本
【高中数学】百分位数

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：为什么样本方差除以n-1而总体方差除以n

下一篇：次序统计量

本文对您是否有用？有用 (2) 无用 (0)