最后更新: 2026-01-02 10:02 查看: 488 次纠错评论(0) 课件开VIP

平均数、中位数、众数、分位数、

## 平均数
平均数也称均值，它是一组数据相加后除以数据的个数得到的结果。平均数是度量数据集中趋势的常用统计量，在参数估计和假设检验中经常用到。

设一组样本数据为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ，样本量（样本数据的个数）为 $n$ ，则样本平均数用 $\bar{x}$ 表示，计算公式为

$$
\boxed{
\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} ...(4.1)
}
$$

上式也称为**简单平均数**。

`例` 某班级5名学生的数学成绩：80, 85, 90, 75, 95（共5个数据）。  
计算算术平均数：  
$$
\bar{x} = \frac{80 + 85 + 90 + 75 + 95}{5} = \frac{425}{5} = 85
$$

## 加权平均数

加权平均数是一种考虑数据“重要性”或“出现频率”的平均数计算方法

>假设演员唱歌，由评委和观众打分，因为评委更专业，所以评委的分数占总分的60%，而观众比较业余，其打分的权重站40%， 这就是加权平均数的由来

如果样本数据被分成 $k$ 组，各组的组中值（一个组中的中间值，是组的下限值与上限值的平均数）分别用 $m_1, m_2, \cdots, m_k$ 表示，各组的频数分别用 $f_1, f_2, \cdots, f_k$ 表示，则样本平均数的计算公式为：

$$
\bar{x}=\frac{m_1 f_1+m_2 f_2+\cdots+m_k f_k}{f_1+f_2+\cdots+f_k}=\frac{\sum_{i=1}^k m_i f_i}{n} ...(4.2)
$$

式（4．2）也称为加权平均数（weighted mean）（1）

- 若权重为**频率**（如各数据的出现次数），则分母为总次数（$\sum w_i = N$），分子为各数据与次数的乘积之和；  
- 若权重为**比例**（如各部分占总体的比重），则分母通常为1（$\sum w_i = 1$），公式简化为 $\bar{x}_w = \sum_{i=1}^n (x_i \cdot w_i)$。

`例` 某学生的课程成绩及对应学分如下：  
 数学（4学分）：90分  
 英语（3学分）：85分  
 物理（2学分）：80分  
计算加权平均分

解：权重为学分，总学分 $\sum w_i = 4+3+2=9$，分子为各成绩与学分的乘积之和：  
$$
\bar{x}_w = \frac{90 \times 4 + 85 \times 3 + 80 \times 2}{9} = \frac{360 + 255 + 160}{9} = \frac{775}{9} \approx 86.11
$$

`例`某班数学成绩分组统计如下：

| 分数区间 | 组中值 $m_i$ | 频数 $f_i$ | $m_i \cdot f_i$ |  
|----------|-----------------|--------------|-------------------|  
| 60-70    | 65              | 2            | 130               |  
| 70-80    | 75              | 5            | 375               |  
| 80-90    | 85              | 8            | 680               |  
| 90-100   | 95              | 5            | 475               |

总频数 $N = 2+5+8+5=20$，计算平均数：  
$$
\bar{x} = \frac{130 + 375 + 680 + 475}{20} = \frac{1660}{20} = 83
$$

## 中位数
中位数（Median）是将一组数据按从**小到大**顺序排列后，处于中间位置的数值。它是一种位置平均数，不受极端值（极大或极小值）的显著影响，因此能更稳健地反映数据的集中趋势。

设一组数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 从小到大排序后为 $x_{(1)}, x_{(2)}, \cdots, x_{(n)}$ ，则中位数就是 $(n+1) / 2$ 位置上的值。计算公式为：

$$
M_e= \begin{cases}x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & n \text { 为奇数 } \\ \frac{1}{2}\left\{x_{\left(\frac{n}{2}\right)}+x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right\} & n \text { 为偶数 }\end{cases}
$$

`例`(奇数个数据) 数据：3, 1, 4, 5, 2（共5个数据，$n=5$）  
 排序后：1, 2, 3, 4, 5  
中间位置：$\frac{5+1}{2} = 3$，第3个数为3  
 中位数 $M = 3$

`例`(偶数个数据) 数据：7, 2, 5, 8, 1, 6（共6个数据，$n=6$）  
 排序后：1, 2, 5, 6, 7, 8  
 中间位置：第 $\frac{6}{2}=3$ 个数是5，第 $\frac{6}{2}+1=4$ 个数是6  
 中位数 $M = \frac{5 + 6}{2} = 5.5$

### 中位数的稳健性

通常，样本均值在概括数据方面具有一定的优势．但样本均值也有其不足之处．设我们有 5 个数 $3,5,9,10,13$ ，则其均值为 $(3+5+9+10+13) / 5=8$ ．如果我们不小心将 13错输人为 133 （比如在计算机输人时将 3 连按 2 下），则均值即变为 $(3+5+9+10+133) / 5 =32$ ．这说明**均值受极端数值影响较大**，与之相对应，中位数则不受极端值的影响，因此，当数据中含有极端值时，使用中位数比使用均值更好，中位数的这种抗干扰性在统计中称为具有**稳健性**．

## 四分位数

> 日常中，我们场听说，这次考试 25%的同学成绩在90分以上，这就是一种四分位的方法。

四分位数（quartile）是一组数据排序后处于 $25 \%$ 和 $75 \%$ 位置上的数值。它是用 3个点将全部数据等分为 4 部分，其中每部分包含 $25 \%$ 的数据。很显然，中间的四分位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指处在 $25 \%$ 位置上和处在 $75 \%$ 位置上的两个数值。

![图片](/uploads/2026-01/054b2c.jpg){width=300px}

与中位数的计算方法类似，计算四分位数时，首先对数据进行排序，然后确定四分位数所在的位置，该位置上的数值就是四分位数。与中位数不同的是，四分位数位置的确定方法有多种 ，每种方法得到的结果可能会有一定差异，但差异不会很大（一般相差不会超过一个位次）。由于不同软件的计算方法可能不一样，因此，对同一组数据使用不同软件得到的四分位数结果也可能会有所差异，但不会影响分析的结论。

**四分位数**是将一组**有序数据**（从小到大排列）等分为四部分的三个分割点，分别记为 $Q_1$（第一四分位数/下四分位数）、$Q_2$（第二四分位数/中位数）、$Q_3$（第三四分位数/上四分位数）。

它的核心作用是描述数据的分布离散程度，常和**箱线图**结合使用。

#### 一、核心定义
1.  **$Q_1$（第一四分位数）**：数据中**25%**的数值小于等于它，**75%**的数值大于等于它。
2.  **$Q_2$（第二四分位数）**：即中位数，数据中**50%**的数值小于等于它，**50%**的数值大于等于它。
3.  **$Q_3$（第三四分位数）**：数据中**75%**的数值小于等于它，**25%**的数值大于等于它。

**四分位距（IQR）**：衡量数据中间50%的离散程度，公式为
$$IQR = Q_3 - Q_1$$

###  计算步骤（分两种情况）
计算前**必须先将数据从小到大排序**，再根据数据个数 $n$ 是奇数还是偶数，选择对应的方法。

`例`情况1：数据个数 $n$ 为奇数
**示例**：数据为 $[1,3,5,7,9,11,13]$，$n=7$
1.  排序：已排好序
2.  计算位置：
    - $Q_2$ 位置：$\frac{n+1}{2} = \frac{7+1}{2}=4$ → 第4个数，即 $Q_2=7$
    - $Q_1$ 位置：$\frac{n+1}{4} = \frac{7+1}{4}=2$ → 第2个数，即 $Q_1=3$
    - $Q_3$ 位置：$\frac{3(n+1)}{4} = \frac{3\times8}{4}=6$ → 第6个数，即 $Q_3=11$

`例`情况2：数据个数 $n$ 为偶数
**示例**：数据为 $[2,4,6,8,10,12]$，$n=6$
1.  排序：已排好序
2.  计算位置（位置为小数时，取相邻两个数的平均值）：
    - $Q_2$ 位置：$\frac{n}{2}=3$ 和 $\frac{n}{2}+1=4$ → 第3和第4个数的平均，$Q_2=\frac{6+8}{2}=7$
    - $Q_1$ 位置：$\frac{n}{4}=1.5$ → 第1和第2个数的平均，$Q_1=\frac{2+4}{2}=3$
    - $Q_3$ 位置：$\frac{3n}{4}=4.5$ → 第4和第5个数的平均，$Q_3=\frac{8+10}{2}=9$

## 众数
众数（Mode）是统计学中描述数据集中趋势的统计量之一，指在一组数据中出现次数最多的数值（或类别）。一组数据可能有一个众数、多个众数，也可能没有众数（所有数值出现次数相同）

`例`多众数 数据：1, 2, 2, 3, 3, 4
各数值出现次数：1(1次)、2(2次)、3(2次)、4(1次)
2和3的出现次数均为最多（2次），因此众数为2和3（双峰分布）。

##  几何平均数

**几何平均数（Geometric Mean, GM）**是统计学中用于描述一组**正数数据**集中趋势的统计量，它通过**n个数据的乘积开n次方**计算得出。其核心思想是反映数据的 **“平均增长率”或“比例变化”**，而非简单的算术平均。

几何平均数（geometric mean）是 $n$ 个变量值乘积的 $n$ 次方根，用 $G$ 表示。计算公式为

$$
G=\sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}
$$
式中，$\Pi$ 为连乘符号。

**公式推导**：设初始值为 $a_0$，第1期后值为 $a_1 = a_0(1+r_1)$，第2期为 $a_2 = a_1(1+r_2) = a_0(1+r_1)(1+r_2)$，…，第n期为 $a_n = a_0 \prod_{i=1}^n (1+r_i)$。若年平均增长率为 $r$，则 $a_n = a_0(1+r)^n$。联立得：  
$$
(1+r)^n = \prod_{i=1}^n (1+r_i) \implies r = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n (1+r_i)} - 1
$$  
其中 $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n (1+r_i)}$ 即为几何平均数。

几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，它主要用于计算平均比率。当所掌握的变量值本身是比率形式时，采用几何平均法计算平均比率更为合理。在实际应用中，几何平均数主要用于计算现象的平均增长率。

> 当数据中出现零值或负值时，不宜计算几何平均数。

`例` 某公司2019-2022年利润分别为100万、120万、150万、180万，求年均增长率。  
- 各年增长倍数：$120/100=1.2$，$150/120=1.25$，$180/150=1.2$；  
- 几何平均数 $= \sqrt[3]{1.2×1.25×1.2} ≈ \sqrt[3]{1.8} ≈ 1.216$（即年平均增长率为21.6%）。

`例`一位投资者持有一种股票，连续 4 年的收益率分别为 $4.5 \%, 2.1 \%, 25.5 \%, 1.9 \%$ 。计算该投资者在这 4 年内的平均收益率。
解 设平均收益率为 $\bar{G}$ ，有

$$
\begin{aligned}
\bar{G} & =\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}-1 \\
& =\sqrt[4]{104.5 \% \times 102.1 \% \times 125.5 \% \times 101.9 \%-1} \\
& =8.0787 \%
\end{aligned}
$$

即该投资者的年均收益率为 $8.0787 \%$ 。
假定该投资者最初投人 10000 元，按各年的几何平均收益率计算，第 4 年的本利总和应为：

$$
\begin{aligned}
& 10000 \times 104.5 \% \times 102.1 \% \times 125.5 \% \times 101.9 \% \\
& =10000 \times(108.0787 \%)^4 \\
& =13644.57(\text { 元 })
\end{aligned}
$$

如果按算术平均计算，平均收益率则为：

$$
\bar{G}=(4.5 \%+2.1 \%+25.5 \%+1.9 \%) \div 4=8.5 \%
$$

按算术平均收益率计算，该投资者第 4 年的本利总和应为：

$$
10000 \times(108.5 \%)^4=13858.59 \text { (元) }
$$

二者相差 214.02 元，而这部分收益投资者并没有获得。这说明，对于比率数据的平均，采用几何平均要比算术平均更合理。从下面的分析中可以更清楚地看出这一点。设开始的数值为 $y_0$ ，逐年增长率为 $G_1, G_2, \cdots, G_n$ ，则第 $n$ 年的数值为：

$$
y_n=y_0\left(1+G_1\right)\left(1+G_2\right) \cdots\left(1+G_n\right)=y_0 \prod_{i=1}^n\left(1+G_i\right) ...(4.6)
$$

从 $y_0$ 到 $y_n$ 有 $n$ 年，每年的增长率都相同，这个增长率 $G$ 就是平均增长率 $\bar{G}$ ，即式（4．7）中的 $G_i$ 都等于 $G$ 。因此

$$
(1+G) n=\prod_{i=1}^n\left(1+G_i\right)...(4.7)
$$

$$
\bar{G}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n\left(1+G_i\right)}-1  ...(4.8)
$$

当所平均的各比率数值差别不大时，算术平均和几何平均的结果相差不大；而当各比率数值相差较大时，二者的差别就很明显。

## 众数，中位数和平均数的比较

核心特性对比 
#### 1. **对数据类型的适用性**  
- **众数**：唯一适用于**数值型+分类型数据**（如性别、品牌偏好），因仅需统计频次。  
- **中位数**：仅适用于**数值型数据**（需排序找中间位置）。  
- **平均数**：仅适用于**数值型数据**（需计算总和）。

#### 2. **对极端值的敏感性**  
- **众数**：完全不受极端值影响（仅关注频次）。例如数据[1, 2, 2, 3, 100]的众数仍为2。  
- **中位数**：不受极端值影响（仅依赖中间位置）。上述数据的中位数为2（排序后第3位），与100无关。  
- **平均数**：高度受极端值影响（总和包含所有数据）。上述数据的平均数为(1+2+2+3+100)/5=21.6，被100显著拉高。

#### 3. **数据的分布形态适配性**  
- **对称分布**（如正态分布）：三者重合（均值=中位数=众数）。  
- **右偏分布**（长尾在右，如收入分布）：均值 > 中位数 > 众数（极端大值拉高均值）。  
- **左偏分布**（长尾在左，如考试难度极高时的分数分布）：均值 < 中位数 < 众数（极端小值拉低均值）。

#### 4. **唯一性与信息丰富度**  
- **众数**：可能不唯一（多峰分布）或不存在（所有数值频次相同），但能反映“最常见状态”。  
- **中位数**：唯一（除非数据量为偶数时取中间两数的平均，但仍为一个明确值），反映“中等水平”。  
- **平均数**：唯一（数学上严格确定），但可能偏离数据的实际集中区域（如偏态分布）。

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