最后更新: 2026-01-02 10:02 查看: 393 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

平均数、中位数、众数、分位数、

## 平均数
平均数也称均值，它是一组数据相加后除以数据的个数得到的结果。平均数是度量数据集中趋势的常用统计量，在参数估计和假设检验中经常用到。

设一组样本数据为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ，样本量（样本数据的个数）为 $n$ ，则样本平均数用 $\bar{x}$ 表示，计算公式为

$$
\boxed{
\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} ...(4.1)
}
$$

上式也称为**简单平均数**。

`例` 某班级5名学生的数学成绩：80, 85, 90, 75, 95（共5个数据）。  
计算算术平均数：  
$$
\bar{x} = \frac{80 + 85 + 90 + 75 + 95}{5} = \frac{425}{5} = 85
$$

## 加权平均数

加权平均数是一种考虑数据“重要性”或“出现频率”的平均数计算方法

>假设演员唱歌，由评委和观众打分，因为评委更专业，所以评委的分数占总分的60%，而观众比较业余，其打分的权重站40%， 这就是加权平均数的由来

如果样本数据被分成 $k$ 组，各组的组中值（一个组中的中间值，是组的下限值与上限值的平均数）分别用 $m_1, m_2, \cdots, m_k$ 表示，各组的频数分别用 $f_1, f_2, \cdots, f_k$ 表示，则样本平均数的计算公式为：

$$
\bar{x}=\frac{m_1 f_1+m_2 f_2+\cdots+m_k f_k}{f_1+f_2+\cdots+f_k}=\frac{\sum_{i=1}^k m_i f_i}{n} ...(4.2)
$$

式（4．2）也称为加权平均数（weighted mean）（1）

- 若权重为**频率**（如各数据的出现次数），则分母为总次数（$\sum w_i = N$），分子为各数据与次数的乘积之和；  
- 若权重为**比例**（如各部分占总体的比重），则分母通常为1（$\sum w_i = 1$），公式简化为 $\bar{x}_w = \sum_{i=1}^n (x_i \cdot w_i)$。

`例` 某学生的课程成绩及对应学分如下：  
 数学（4学分）：90分  
 英语（3学分）：85分  
 物理（2学分）：80分  
计算加权平均分

解：权重为学分，总学分 $\sum w_i = 4+3+2=9$，分子为各成绩与学分的乘积之和：  
$$
\bar{x}_w = \frac{90 \times 4 + 85 \times 3 + 80 \times 2}{9} = \frac{360 + 255 + 160}{9} = \frac{775}{9} \approx 86.11
$$

`例`某班数学成绩分组统计如下：

| 分数区间 | 组中值 $m_i$ | 频数 $f_i$ | $m_i \cdot f_i$ |  
|----------|-----------------|--------------|-------------------|  
| 60-70    | 65              | 2            | 130               |  
| 70-80    | 75              | 5            | 375               |  
| 80-90    | 85              | 8            | 680               |  
| 90-100   | 95              | 5            | 475               |

总频数 $N = 2+5+8+5=20$，计算平均数：  
$$
\bar{x} = \frac{130 + 375 + 680 + 475}{20} = \frac{1660}{20} = 83
$$

## 中位数
中位数（Median）是将一组数据按从**小到大**顺序排列后，处于中间位置的数值。它是一种位置平均数，不受极端值（极大或极小值）的显著影响，因此能更稳健地反映数据的集中趋势。

设一组数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 从小到大排序后为 $x_{(1)}, x_{(2)}, \cdots, x_{(n)}$ ，则中位数就是 $(n+1) / 2$ 位置上的值。计算公式为：

$$
M_e= \begin{cases}x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & n \text { 为奇数 } \\ \frac{1}{2}\left\{x_{\left(\frac{n}{2}\right)}+x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right\} & n \text { 为偶数 }\end{cases}
$$

`例`(奇数个数据) 数据：3, 1, 4, 5, 2（共5个数据，$n=5$）

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