最后更新: 2026-06-23 18:13 查看: 104 次纠错评论(0) 课件开VIP

直方图

搜集到的资料如果末经组织和整理，通常是没有什么价值的，为了把这些有差异的资料组织成有用的形式，我们应该编制频数表 （即频数分布表）．

##  频数－频率分布表
通过观察或试验得到的样本值一般都是杂乱无章的，通常没有什么价值，需要进行整理才能从总体上呈现其统计规律性．样本数据的整理是统计研究的基础，频数分布表或频率分布表是整理数据的常用方法．以下面的例子来介绍．

`例`从贵州某高校中随机抽取 30 名学生，为了研究其月生活费情况，收集了这 30 学生未经整理的月生活费，如表6.2.1所示。
 
 ![图片](/uploads/2025-06/348c57.jpg)

以下以本例介绍频数分布表的制作方法．表 6.2.1是 30 名学生月生活费的原始资料，这些观测数据可以记为 $x_1, x_2, \cdots, x_{30}$ ，数据整理的具体步骤如下．

**（1）对样本进行分组**
首先确定组数 $k$ ，作为一般性的原则，组数通常为 $5 \sim 20$ 个．对容量较小的样本，通常将其分为 5 组或者 6 组，容量为 100 左右的样本可以分为 $7 \sim 10$ 组，容量为 200 左右的样本可以分为 $9 \sim 13$ 组，容量为 300 左右及以上的样本可分为 $12 \sim 20$ 组，目的是使用足够的组数来表示数据的变异．本例只有 30 个数据，将之分为 5 组，即 $k=5$ ．

**（2）确定每组组距**
每组区间的长度可以相同也可以不相同，在实际中常选用长度相同的区间方便进行比较，各组区间长度称为组距．样本观测值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 中的最小观测值为 $x_{(1)}$ ，最大观测值为 $x_{(n)}$ ，其近似公式为

组距 $d=\left(\right.$ 最大观测值 $x_{(n)}-$ 最小观测值 $\left.x_{(1)}\right) /$ 组数．
本例中，数据最大观测值为 640 ，最小观测值为 420 ，故组距近似为

$$
d=(640-420) / 5=44
$$

为方便，取组距为 50 ．

**（3）确定每组组限**
各组区间端点为：$a_0, a_0+d=a_1, a_0+2 d=a_2, \cdots, a_0+k d=a_k$ ．
各分组区间为：$\left(a_0, a_1\right],\left(a_1, a_2\right], \cdots,\left(a_{k-1}, a_k\right]$ ，其中，$a_0$ 略小于最小观测值，$a_k$ 略大于最大观测值。

本例中取 $a_0=400, a_5=650$ ，因此本例的分组区间为
（400，450］，（450，500］，（500，550］，（550，600］），（600，650］．

**（4）列出频数－频率分布表**
统计样本数据落入每个区间的个数——频数，然后列出其频数－频率分布表 6.2.2．
 ![图片](/uploads/2025-06/79dbf4.jpg)

## 直方图

上面介绍的频数、频率是表格形式，它也可以用直方图表示，这在许多场合更直观。频数分布在组距相等的场合常用宽度相等的长条矩形表示，矩形的高低表示频数的大小．在图形上，它的横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标表示频数，如图 6.2.1 所示．
 
 ![图片](/uploads/2025-06/fb146e.jpg)
 
 
 
 如果将纵坐标改成频率，则得到**频率直方图**．为使所有矩形面积和为 1 ，可将纵坐标表示**频率／组距**，如此得到的直方图称为**单位频率直方图**，或简称**频率直方图**．此三种直方图的差别仅在于纵轴刻度的选择，直方图本身并无变化．

用上述方法对抽取数据加以整理，编制频数分布表，作直方图，画出频率分布曲线，这就可以直观地看到数据分布的情况，在什么范围，较大较小的各有多少，在哪些地方分布得比较集中，以及分布图形是否对称等，所以，样本的频率分布是总体概率分布的近似．样本是总体的反映，但是样本所含的信息不能直接用于解决我们所要研究的问题，而需要把样本所含的信息进行数学上的加工，使其浓缩起来，从而解决问题．

`例` 下面列出了 30 个美国 NBA 球员的体重（以磅计， 1 磅 $=0.454 \mathrm{~kg}$ ）数据．这些数据是从美国 NBA 球队 1990～1991赛季的花名册中抽样得到的．

$$
225 \quad 232 \quad 232 \quad 245 \quad 235 \quad 245 \quad 270 \quad 225 \quad 240 \quad 240
$$

$$
217 \quad 195 \quad 225 \quad 185 \quad 200 \quad 220 \quad 200 \quad 210 \quad 271 \quad 240 
$$
$$
220 \quad 230 \quad 215 \quad 252 \quad 225 \quad 220 \quad 206 \quad 185 \quad 227 \quad 236
$$

画出这些数据的频率直方图（提示：最大和最小观察值分别为 271 和 185 ，区间［184．5，271．5］包含所有数据，将整个区间分为 5 等份，为计算方便，将区间调整为（ $179.5,279.5$ ））。

解 最大和最小观察值分别为 271 和 185 ，考虑到这些数据是将实测数据经四舍五入后得到的，取区间 $I=[184.5,271.5]$ 使得所有实测数据都落在 $I$ 上．将区间 $I$ 等分为若干小区间，小区间的个数与数据个数 $n$ 有关，取为 $\sqrt{n}$ 左右为佳．现在取小区间的个数为 5 ，于是小区间的长度为 $\frac{271.5-184.5}{5}=17.4$ ．这一长度使用起来不方便．为此，将区间 $I$ 的下限延伸至 179.5 ，上限延伸至 279.5 ，这样小区间的长度调整为

$$
\Delta=\frac{279.5-179.5}{5}=20 .
$$

数出落在每小区间内的数据的个数 $f_i, i=1,2,3,4,5$ ，算出数据落在各个小区间的频率 $\frac{f_i}{n}(n= 30, i=1,2,3,4,5)$ ，所得结果列表如下：

![图片](/uploads/2026-06/af98f2.jpg)
 
 
  在每个小区间上作以对应的频率为高（或者以 $\frac{f_i}{n \Delta}$ 为高）以小区间为底的小长方形，这就是所求的频率直方图（如图 6－1．29）．
  
   ![图片](/uploads/2026-06/e1a5e0.jpg)

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