最后更新: 2025-02-16 11:16 查看: 259 次反馈刷题

抽样

## 抽样
从总体中抽取样本的方法有很多，我们主要采用简单随机抽样的方法，即有放回地重复独立抽取，这样得到的样本称为简单随机样本 (简称样本). 记作 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$.
在试验前，样本的观测值是不确定的，为了体现随机性，在数理统计中样本记 作 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ ，事实上是一个 $n$ 维随机向量.
通过实验或观测得到的数值称为样本观测值，记作 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，其中 $n$ 称为 样本容量(样本大小).
也就是说样本是一组随机变量，而样本观测值是抽样完成以后所得到的这组随机变量的
一次具体取值.
![图片](/uploads/2023-01/image_202301036626202.png)
简单随机样本具有两个特点:
(1) 独立性: $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是相互独立的;
(2) 代表性: 每个个体 $X_i$ 的分布都和总体分布相同. 即 $X_i \sim f\left(x_i, \theta\right), i=1,2, \cdots, n$.

① 设 $X$ 为离散型随机变量，则 $X \sim f(x ; \theta) \hat{=} P(X=x)$
而样本 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合分布律为:

$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right) & \hat{=} P\left(X_1=x_1, X_2=x_2, \cdots, X_n=x_n ; \theta\right) \\
& =P\left(X_1=x_1\right) P\left(X_2=x_2\right) \cdots P\left(X_n=x_n\right)=\prod_{i=1}^n P\left(X_i=x_i ; \theta\right)
\end{aligned}
$$

`例` 设 $X$ 为连续型随机变量，概率密度函数为 $f(x ; \theta)$ ， 则样本 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合概率密度函数为:

$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right) & \hat{=} f_{\left(X_1, X_2 \cdots, X_n\right)}\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \\
& =f_{X_1}\left(x_1\right) f_{X_2}\left(x_2\right) \cdots f_{X_n}\left(x_n\right) \\
& =f\left(x_1 ; \theta\right) f\left(x_2 ; \theta\right) \cdots f\left(x_n ; \theta\right)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; \theta\right) .
\end{aligned}
$$

`例`设总体 $X \sim B(1, p),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是取自该总体的一个样本，

试写出样本 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合分布律．

解

$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; p\right) & =\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; p\right) \\
& =\prod_{i=1}^n P\left(X_i=x_i\right)=\prod_{i=1}^n p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} \\
& =p^{\sum_{i=1}^n x_i}(1-p)^{n-\sum_{i=1}^n x_i}, \quad x_i=0,1, \quad i=1,2, \cdots, n .
\end{aligned}
$$

`例`设总体 $X \sim P(\lambda), ~\left(X_1, X_2, \cdots, X_6\right)$ 为取自该总体的一个样本，
求样本 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_6\right)$ 的联合分布律 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_6 ; \lambda\right)$ ？

解

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_6 ; \lambda\right)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^{x_1}}{x_{1}!} \cdot e^{-\lambda} \frac{\lambda^{x_2}}{x_{2}!} \cdots \cdots e^{-\lambda} \frac{\lambda^{x_6}}{x_{6}!}=e^{-6 \lambda} \frac{\lambda^{\sum_{i=1}^n x_i}}{\prod_{i=1}^6 x_{i}!}, \quad x_1, x_2, \cdots, x_6=0,1,2, \cdots
$$

`例`设总体 $X \sim U(0, \theta), ~\left(X_1, X_2, L, X_n\right)$ 是取自上均匀分布总体 $X$ 的一个样本，$\theta>0$ 末知，
求样本（ $X_1, X_2, \cdots, X_6$ ）的联合密度函数？
解

$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right) & =f_{X_1}\left(x_1 ; \theta\right) f_{X_2}\left(x_2 ; \theta\right) \ldots \ldots f_{x_n}\left(x_n ; \theta\right) \\
& =\left\{\begin{array}{cc}
\theta^{-n} & 0<x_1, x_2, \cdots, x_n<\theta \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

`例`设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为取自该总体的一个样本，求样本 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合密度函数？

解

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \mu, \sigma^2\right)=\frac{1}{\left(2 \pi \sigma^2\right)^{\frac{n}{2}}} e^{-\frac{\sum\left(x_i-\mu\right)^2}{2 \sigma^2}},-\infty<x_i<+\infty
$$

`例`设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是取自总体 $X$ 的一个样本，$X$ 的 概率密度函数为

$$
f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{2 x}{\theta^2} & 0<x<\theta \\
0 & \text { 其余 }
\end{array}\right.
$$

试写出 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合密度函数．
联合密度函数为

$$
f^*\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \theta\right)= \begin{cases}\frac{2^n x_1 \cdots x_n}{\theta^{2 n}} & 0<x_i<\theta, i=1,2, \cdots, n \\ 0 & \text { 其余 }\end{cases}
$$

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