最后更新: 2025-12-31 18:20 查看: 303 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

抽样与经验分布函数

## 抽样
从总体中抽取样本的方法有很多，我们主要采用**简单随机抽样**的方法，即**有放回**地重复独立抽取，这样得到的样本称为简单随机样本 (简称样本). 记作 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$.
在试验前，样本的观测值是不确定的，为了体现随机性，在数理统计中样本记 作 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ ，事实上是一个 $n$ 维随机向量.
通过实验或观测得到的数值称为样本观测值，记作 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，其中 $n$ 称为 **样本容量**(样本大小).
也就是说样本是一组随机变量，而样本观测值是抽样完成以后所得到的这组随机变量的**一次具体取值**.
![图片](/uploads/2023-01/image_202301036626202.png){width=500px}

简单随机样本具有两个特点:
**(1) 独立性**: $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是相互独立的;
**(2) 代表性**: 每个个体 $X_i$ 的分布都和总体分布相同. 即 $X_i \sim f\left(x_i, \theta\right), i=1,2, \cdots, n$.

`例`某饮料厂生产的一种瓶装饮料规定净含量为 650 克．事实上不可能使得所有的饮料净含量均为 650 克．现从该厂生产的饮料中随机抽取 12 瓶测定其净含量，获得如下结果： $645,652,642,646,647,643,648,649,651,649,647,646$ ．这是一个容量为 12的样本观测值，对应的总体为该厂生产的瓶装饮料的净含量．

**简单随机样本是一种非常理想化的样本**，在实际应用中要获得严格意义下的简单随机样本并不容易．无特别声明，本书抽得的样本皆指简单随机样本．样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 可以视为相互独立的具有同一分布的随机变量，又称为独立同分布样本（即为 iid 样本），其联合分布即为总体分布。

## 样本的联合分布

若总体 $X$ 的分布函数为 $F(x), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的一个样本，则 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的联合分布函数为

$$
\boxed{
F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=F(x_1) \times F(x_2)\times...\times F(x_n)=\prod_{i=1}^n F\left(x_i\right) .
}
$$

①当总体 $X$ 为连续型随机变量时，若其概率密度为 $f(x)$ ，则样本的联合概率密度为

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i\right)
$$

②当总体 $X$ 为离散型随机变量时，若其概率分布为 $p(x)=P\{X=x\}$ ，则样本的联合概率分布为

$$
p\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=p\left\{X=x_1, X=x_2, \cdots, X=x_n\right\}=\prod_{i=1}^n p\left(x_i\right) .
$$

详细推导请点击 [总体与个体](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=562)

## 经验分布函数
设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，若将样本观测值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ **由小到大进行排列**，记为 $x_{(1)} \leqslant x_{(2)} \leqslant \cdots \leqslant x_{(n)}$ ，则称 $X_{(1)}, X_{(2)}, \cdots, X_{(n)}$ 为**有序样本**．定义函数

$$
F_n(x)= \begin{cases}0, & x<x_{(1)} \\ k / n, & x_{(k)} \leqslant x<x_{(k+1)}, k=1,2, \cdots, n-1 \\ 1, & x \geqslant x_{(n)}\end{cases}
$$

称 $F_n(x)$ 为**经验分布函数**．显然 $F_n(x)$ 是一非减右连续函数，且满足 $F_n(-\infty)=0$ 和 $F_n(+\infty)=1$ ．

经验分布函数 $F_n(x) $定义为：
$$
F_n(x) = \frac{\text{样本中} \leq x \text{的观测值的个数}}{n}
$$

用数学符号表示为：
$$
F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} I

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