最后更新: 2026-01-02 08:07 查看: 485 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

总体与个体★★★★★

## 总体与个体
总体、样本和统计量是数理统计的基本概念,同时也是数理统计的研究对象.本节将从总体、样本和统计量的直观概念引出其数学定义.
直观上,总体是全体研究对象的集合,样本是一部分研究对象的集合.数学上,视随机变量为总体,把与总体同分布的一组随机变量称为样本.

在数理统计中,我们将研究对象的某项数量指标值的全体称为**总体**(population), 总体中的每个元素称为**个体**(individual).

例如,我们想了解某厂生产的一批节能灯的平均寿命,则这样的一批节能灯寿命值的全体就组成一个总体, 其中每一只节能灯的寿命就是一个个体.
要将一个总体的性质了解清楚,初看起来,最理想的办法是对每个个体逐个进行观察,但实际上这样做往往是不现实的.例如,研究节能灯的寿命,因为寿命试验是破坏性的,一旦我们获得试验的所有结果,这批节能灯也就全废了,所以我们只能从整批节能灯中抽取一部分节能灯做寿命试验,并记录其结果,然后根据这部分数据来推断整批节能灯的寿命情况.

由于节能灯的寿命在随机抽样中是随机变量,因此,为了便于数学上处理,我们将总体定义为随机变量,随机变量的分布称为总体分布.

一般地,我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察,然后根据所得的数据来推断总体的性质.被抽出的那部分个体,称为总体的一个样本.

所谓从总体抽取一个个体,就是对总体 $X$ 进行一次观察(即进行一次试验),并记录其结果. 我们在相同的条件下对总体 $X$ 进行$n$ 次重复、独立的观察,将$n$ 次观察结果按试验的次序记为$X_1, X_2, \cdots, X_n$ ．由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是对随机变量 $X$ 观察的结果，且各次观察是在相同的条件下独立进行的，于是我们引出如下关于样本的定义。

> 我们要指出，样本具有所谓的二重性：一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机变量，用大写字母 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 表示；另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此，样本又是一组数值．此时用小写字母 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 表示是恰当的．

`例` 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为 640 ml ，由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒净含量均为 640 ml ．现从某厂生产的啤酒中随机抽取 10 瓶测定其净含量，得到如下结果（单位：ml）：
$\begin{array}{lllllllll}641 & 635 & 640 & 637 & 642 & 638 & 645 & 643 & 639\end{array} \quad 640$

这是一个容量为 10 的样本的观测值(样本的个数即为样本容量），对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量．

`例`（分组样本）我们考察某厂生产的某种电子元件的寿命，该厂生产的以及将要生产的所有该种元件的寿命是总体（通常可以认为是无限总体），我们选了 100只进行寿命试验，由于一些原因，我们不可能每时每刻对试验进行观测，而只能定期 （比如每隔 24 h ）进行观测，于是，对每个元件，我们只能观测到其寿命落在某个范围内，这就产生了表 5．1．1 所示的一组样本：
  
  ![图片](/uploads/2025-12/cf2106.jpg)
  
表 5．1．1 中的样本观测值没有具体的数值，只有一个范围，这样的样本称为分组样本，它是一种不完全样本．相应地，上例中的 10 个啤酒净含量称为完全样本．分组样本与完全样本相比在信息上总有损失，这是分组样本的缺点。为了获得更多信息，应尽量设法获得完全样本，在不得已场合可使用分组样本（如本例）．但在实际中，在样本量特别大时（如 $n \geqslant 100$ ），又常用分组样本来代替完全样本，这时需要对样本进行分组整理，它能简明扼要地表示样本，使人们能更好地认识总体，这是分组样本的优点．
 
从总体中抽取样本可以有不同的抽法，为了能由样本对总体作出较可靠的推断，就希望样本能很好地代表总体。这就需要对抽样方法提出一些要求，最常用的＂**简单随机抽样**＂有如下两个要求：

**样本具有代表性**，即要求总体中每一个个体都有同等机会被选人样本，这便意味着每一样品 $x_i$ 与总体 $X$ 有相同的分布．

**样本要有独立性**，即要求样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值，这意味着 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 相互独立．

用简单随机抽样方法得到的样本称为**简单随机样本**，也简称样本．于是，样本 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 可以看成是相互独立的具有同一分布的随机变量，又称为**iid样本**，其共同分布即为总体分布．

设总体 $X$ 具有分布函数 $F(x), x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为取自该总体的容量为 $n$ 的样本，则样本联合分布函数为

$$
F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\prod_{i=1}^n F\left(x_i\right) .
$$

## 如何理解观察值值是总体的

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