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总体与个体★★★★★

> 前面章节主要是《概率学》部分，从本节开始将进入《统计学》部分。概率和统计联系非常紧密又有区别，在学习时，可以对比。

## 总体与个体
总体、样本和统计量是数理统计的基本概念,同时也是数理统计的研究对象.本节将从总体、样本和统计量的直观概念引出其数学定义.

直观上,总体是全体研究对象的集合,样本是一部分研究对象的集合.数学上,视随机变量X为总体,把与总体同分布的一组随机变量称为样本.

在数理统计中,我们将研究对象的某项数量指标值的全体称为**总体**(population), 总体中的每个元素称为**个体**(individual).

例如我们想了解某厂生产的一批节能灯的平均寿命,则这样的一批节能灯寿命值的全体就组成一个总体, 其中每一只节能灯的寿命就是一个个体.
要将一个总体的性质了解清楚,初看起来,最理想的办法是对每个个体逐个进行观察,但实际上这样做往往是不现实的.例如,研究节能灯的寿命,因为寿命试验是破坏性的,一旦我们获得试验的所有结果,这批节能灯也就全废了,所以我们只能从整批节能灯中抽取一部分节能灯做寿命试验,并记录其结果,然后根据这部分数据来推断整批节能灯的寿命情况.

由于节能灯的寿命在随机抽样中是随机变量,因此,为了便于数学上处理,我们将总体定义为随机变量,随机变量的分布称为总体分布.

例如在考察某大学一年级男生的身高这一试验中，若一年级男生共 2000 人，每个男生的身高是一个可能观察值，所形成的总体中共含 2000 个可能观察值，他是一个有限总体

总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此它是某一随机变量 $X$的值，这样，一个总体对应于一个随机变量 $X$ 。我们对总体的研究就是对一个随机变量 $X$ 的研究，$X$ 的分布函数和数字特征就称为总体的分布函数和数字特征．今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体 $X$ 。

例如，我们检验自生产线出来的零件是次品还是正品，以 0 表示产品为正品，以 1 表示产品为次品．设出现次品的概率为 $p$（常数），那么总体是由一些 ＂ 1 ＂和一些＂ 0 ＂所组成，这一总体对应于一个具有参数为 $p$ 的 $(0-1)$ 分布：

$$
P\{X=x\}=p^x(1-p)^{1-x}, x=0,1
$$

的随机变量．我们就将它说成是 $(0-1)$ 分布总体．意指总体中的观察值是 $(0-1)$分布随机变量的值．又如上述灯泡寿命这一总体是指数分布总体，意指总体中的观察值是指数分布随机变量的值。

在实际中，总体的分布一般是未知的，或只知道它具有某种形式而其中包含着末知参数．在数理统计中，人们都是通过从总体中抽取一部分个体，根据获得的数据来对总体分布作出推断的．被抽出的部分个体叫做总体的一个样本．

所谓从总体抽取一个个体，就是对总体 $X$ 进行一次观察并记录其结果．我们在相同的条件下对总体 $X$ 进行 $n$ 次重复的、独立的观察。将 $n$ 次观察结果按试验的次序记为 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 。由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是对随机变量 $X$ 观察的结果，且各次观察是在相同的条件下独立进行的，所以有理由认为 $X_1, X_2, \cdots, X_n$是相互独立的，且都是与 $X$ 具有相同分布的随机变量．这样得到的 $X_1, X_2, \cdots$ ， $X_n$ 称为来自总体 $X$ 的一个简单随机样本，$n$ 称为这个样本的容量．以后如无特别说明，所提到的样本都是指简单随机样本．

当 $n$ 次观察一经完成，我们就得到一组实数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ，它们依次是随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的观察值，称为样本值．

对于有限总体，采用放回抽样就能得到简单随机样本，但放回抽样使用起来不方便，当个体的总数 $N$ 比要得到的样本的容量 $n$ 大得多时，在实际中可将不放回抽样近似地当作放回抽样来处理。

至于无限总体，因抽取一个个体不影响它的分布，所以总是用不放回抽样．例如，在生产过程中，每隔一定时间抽取一个个体，抽取 $n$ 个就得到一个简单随机样本，实验室中的记录，水文、气象等观察资料都是样本．试制新产品得到的样品的质量指标，也常被认为是样本．

> 我们要指出，样本具有所谓的二重性：一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机变量，用大写字母 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 表示；另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此，样本又是一组数值．此时用小写字母 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 表示是恰当的．

### 几个核心概念
**1．总体** 是指研究对象的某个性能指标的全体，通常用一随机变量 $X$ 代表总体．
**2．个体** 是指每一个研究对象。
**3．样本** 从总体中取 $n$ 个个体，称作来自总体的容量为 $n$ 的样本．
简单随机样本 是指 $n$ 个相互独立，而且与总体 $X$ 同分布的随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ ，简称随机样本，也常以随机向量 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 表示。它们的一组观察值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 称为样本值。

**4．统计量** 称不含未知参数的样本函数 $g\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为统计量。
常见统计量 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 为样本均值，
$S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 为样本方差，
$S=\sqrt{S^2}$ 称为样本标准差，
$A_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$ 为 $k$ 阶样本原点矩，
$B_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^k$ 为 $k$ 阶样本中心矩，
其中 $\quad B_2=S_n^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2=\frac{n-1}{n} S^2$ ．

`例` 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为 640 ml ，由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒净含量均为 640 ml ．现从某厂生产的啤酒中随机抽取 10 瓶测定其净含量，得到如下结果（单位：ml）：
$\begin{array}{lllllllll}641 & 635 & 640 & 637 & 642 & 638 & 645 & 643 & 639\end{array} \quad 640$

这是一个容量为 10 的样本的观测值(样本的个数即为样本容量），对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量．

`例`（分组样本）我们考察某厂生产的某种电子元件的寿命，该厂生产的以及将要生产的所有该种元件的寿命是总体（通常可以认为是无限总体），我们选了 100只进行寿命试验，由于一些原因，我们不可能每时每刻对试验进行观测，而只能定期 （比如每隔 24 h ）进行观测，于是，对每个元件，我们只能观测到其寿命落在某个范围内，这就产生了表 5．1．1 所示的一组样本：
  
  ![图片](/uploads/2025-12/cf2106.jpg)
  
表 5．1．1 中的样本观测值没有具体的数值，只有一个范围，这样的样本称为分组样本，它是一种**不完全样本**．相应地，上例中的 10 个啤酒净含量称为**完全样本**．分组样本与完全样本相比在信息上总有损失，这是分组样本的缺点。为了获得更多信息，应尽量设法获得完全样本，在不得已场合可使用分组样本（如本例）．但在实际中，在样本量特别大时（如 $n \geqslant 100$ ），又常用分组样本来代替完全样本，这时需要对样本进行分组整理，它能简明扼要地表示样本，使人们能更好地认识总体，这是分组样本的优点．
 
从总体中抽取样本可以有不同的抽法，为了能由样本对总体作出较可靠的推断，就希望样本能很好地代表总体。这就需要对抽样方法提出一些要求，最常用的＂**简单随机抽样**＂有如下两个要求：

**①样本具有代表性**，即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，这便意味着每一样品 $x_i$ 与总体 $X$ 有相同的分布．

**②样本要有独立性**，即要求样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值，这意味着 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 相互独立．

用简单随机抽样方法得到的样本称为**简单随机样本**，也简称样本．于是，样本 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 可以看成是**相互独立的具有同一分布的随机变量**，又称为**独立同分布iid样本**，其共同分布即为总体分布．

设总体 $X$ 具有分布函数 $F(x), x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为取自该总体的容量为 $n$ 的样本，则样本联合分布函数为

$$
F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\prod_{i=1}^n F\left(x_i\right) .
$$

## 如何理解观察值值是总体的函数？
假设用样本估算电子的寿命，$X_i$表示第$i$个寿命，

第一次抽样$X_1=x_1=3000$小时，我们估计**整体产品寿命**在$X=3000$小时
第二次抽样$X_2=x_2=3020$小时，我们估计**整体产品寿命**在$X=3020$小时
第三次抽样$X_3=x_3=2800$小时，我们估计**整体产品寿命**在$X=2800$小时
第四次抽样$X_4=x_4=2900$小时，我们估计**整体产品寿命**在$X=2900$小时
第五次抽样$X_5=x_5=3050$小时，我们估计**整体产品寿命**在$X=3050$小时

如果我们把整体产品寿命看成一个函数，当输入$X_i$时，就输出一个函数$F(X_i)$，很显然，我们希望构造的函数$F(X_i)$满足所有抽样。

这里$X_i$表示抽样的事件，$x_i$表示具体的值，而总体分布$F(X_i)$是$X_i$ 的函数。现在的问题是，电子的总体寿命是未知的，因此我们要构造处$F(X_i)$来。

总体指标未知,  可看作是一个随机变量,  记为X.因此有下面结论：

> （1）当总体 $X$ 是离散型随机变量时，定义总体分布为 $f(x ; \theta) \hat{=} P(X=x ; \theta)$ ，即为总体 $X$ 的分布律．
（2）当总体 $X$ 是连续型随机变量时，定义总体分布为 $f(x ; \theta) \hat{=} f_X(x ; \theta)$ ，即为总体 $X$ 的概率密度函数 (下面有具体的推到)．

其实，这里有[数据插值](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4304)的思想：
①假设有一个曲线，经过$(1,0),(2,0)$ 求这条曲线，那么我们可以设函数为 $f(x)= a(x-1)(x-2)$

②假设有一个曲线，经过$(1,0),(2,0),(3,0)$ 求这条曲线，那么我们可以设函数为 $f(x)= a(x-1)(x-2)(x-3)$

③假设有一个曲线，经过$(1,0),(2,0),(3,0),(4,0)$ 求这条曲线，那么我们可以设函数为 $f(x)= a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

从我们构造的函数$f(x)$可以看到，我们最大的希望是所有的点都能用上。

同样，在构造总体函数$F(X)$时，我们希望$X_1,X_2,...X_i$这些样品都能用上。

## 样本的联合分布函数
设总体 $X$ 是具有分布函数 $F(x)$ 的随机变量。若 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是与 $X$ 具有同一分布函数 $F(x)$ ，且相互独立的随机变量，则称 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为从总体 $X$ 中得到的容量为 $n$的简单随机样本（random sample），简称样本．其中 $n$ 称为样本容量．

$n$ 次观察一经完成，我们就得到一组实数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 。它们依次是随机变量 $X_1, X_2, \cdots$ ， $X_n$ 的观察值，称为样本值。

对于有限总体，采用放回抽样就能得到简单样本，而当总体中个体的总数 $N$ 比要得到的样本的容量 $n$ 大得多时（一般地，当 $\frac{N}{n} \geqslant 10$ 时），在实际中可将不放回抽样近似地当成放回抽样来处理．

**样本的联合分布函数** 若 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的一个样本，$X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的联合分布函数为(**这个结论对离散型和连续型都成立**)

$$
\boxed{
F^*\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\prod_{i=1}^n F\left(x_i\right)= F_1 \times F_2 \times F_3... \times F_n
}
$$

### 样本的联合分布函数解读

首先， $ X_1, X_2, \dots, X_n $ 是来自总体 $ X $ 的一个**简单随机样本**  这意味着：
  1. 每个 $ X_i $ 与总体 $ X $ 有**相同的分布**，记分布函数为 $ F(x) $；
  2. $ X_1, X_2, \dots, X_n $ **相互独立**。

其次，分布函数的定义为
对于单个随机变量 $ X_i $：

$$
F(x_i) = P(X_i \le x_i).
$$

对于多个随机变量，**联合分布函数** 定义为：

$$
F^*(x_1, x_2, \dots, x_n) = P(X_1 \le x_1, X_2 \le x_2, \dots, X_n \le x_n).
$$

接着， 独立性带来的分解
由于 $ X_1, \dots, X_n $ 相互独立，事件 $ \{ X_1 \le x_1 \}, \{ X_2 \le x_2 \}, \dots, \{ X_n \le x_n \} $ 也相互独立。  
因此：

$$
P(X_1 \le x_1, X_2 \le x_2, \dots, X_n \le x_n) 
= P(X_1 \le x_1) \cdot P(X_2 \le x_2) \cdots P(X_n \le x_n).
$$

又因为每个 $ X_i $ 与总体 $ X $ 同分布，所以

$$
P(X_i \le x_i) = F(x_i).
$$

最后，得到公式

$$
F^*(x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n F(x_i).
$$

> **在前面介绍过，密度函数的积分就是分布函数，分布函数的求导就是密度函数，上面给出来联合分布的分布函数，那么就可以得到密度函数**。

#### 连续型样本联合密度函数

因为样本点选择是独立同分布的，同分布意味着每个 $X_i$ 与 $X$ 有相同的密度函数：
$$
f_{X_i}(x) = f(x).
$$

独立意味着彼此不受影响， 所以满足多元随机向量的联合密度等于边缘密度的乘积：
$$
f_{X_1, \dots, X_n}(x_1, \dots, x_n) = f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) \dots f_{X_n}(x_n).
$$

代入同分布条件：
$$
f^*(x_1, \dots, x_n) = f(x_1) f(x_2) \dots f(x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i).
$$

即

$$
\boxed{
f^*(x_1, \dots, x_n) =  \prod_{i=1}^n f(x_i).
}
$$

#### 离散型联合质量函数

对于离散型，总体 $ X $ 为 **离散型** 随机变量。  它的概率分布（概率质量函数，PMF）为  
$$
p(x) = P\{X = x\}.
$$
  注意：通常表示成 $ p(x_i) = P(X = x_i) $，$ x_i $ 是 $ X $ 的可能取值。
 
从总体 $ X $ 中抽取一个简单随机样本 $ X_1, X_2, \dots, X_n $：每个 $ X_i $ 与 $ X $ 同分布，即：$P(X_i = x) = p(x), \quad \text{对所有可能的 }x.$  并且 $ X_1, \dots, X_n $ **相互独立**。

**离散型样本的联合分布**
对于离散型随机变量，我们通常关心 **联合概率质量函数**，而不是分布函数。

对于给定的 $ n $ 个实数（实际取值）$ a_1, a_2, \dots, a_n $，它们每个都在 $ X $ 的可能取值集合中。

由独立性 + 同分布：

$$
P(X_1 = a_1, X_2 = a_2, \dots, X_n = a_n) 
= \prod_{i=1}^n P(X_i = a_i).
$$
又因为 $ P(X_i = a_i) = p(a_i) $，

所以：
$$
P(X_1 = a_1, \dots, X_n = a_n) = \prod_{i=1}^n p(a_i).
$$

用更一般的符号表示 
如果我们记样本观测值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $（注意：这里的 $ x_i $ 是具体数值，不是随机变量符号混淆），那么联合概率质量函数为：

$$
\boxed{
p^*(x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n p(x_i),
}
$$
其中 $ p(x) = P(X = x) $ 是总体的概率分布。

## 例题

`例`设总体 $X \sim B(1, p)$ ，试写出总体分布律 $f(x ; p)$ ．

**分析**：  已知 $X \sim B(1, p)$ 这表示随机变量 $X$ 服从参数为 $1$ 和 $p$ 的二项分布。由于试验次数是 1，它实际上就是伯努利分布，表示一次试验中“成功”的概率是 $p$。
通俗解释，假设$x=3$，p表示射击时的命中率，抽取样本3次，记为样本 $X_1, X_2, X_3$，结果第一次命中，第二次未命中，第三次命中，则观测值 $(1,0,1)$，因此  
$$
p^*(1,0,1) = p(1) \cdot p(0) \cdot p(1) = p \cdot (1-p) \cdot p = p^2 (1-p).
$$
由此可以写出总体的分布律。

**解**

题目的意思可以概况未：设总体 X 服从参数为 $p(0<p<1)$ 的 $0-1$ 分布，即 $P\{X=1\}=p, P\{X=0\} =1-p$ ．设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 X 的一个样本，求此样本的概率分布．

解 总体 X 的分布律可写为 $P\{X=x\}=(1-p)^{1-x} \cdot p^x(x=0,1)$ 。
于是样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的概率分布为

$$
\begin{aligned}
p^*\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) & =P\left\{X=x_1, X=x_2, \cdots, X_n=x_n\right\}=\prod_{i=1}^n P\left(x_i\right) \\
& =\prod_{i=1}^n(1-p)^{1-x_i} p^{x_i}=(1-p)^{n-\sum_{i=1}^n x_i} \cdot p^{\sum_{i=1}^n x_i}
\end{aligned}
$$

其中 $x_i(1 \leqslant i \leqslant n)$ 取 0 或 1 ．

通过本例题可以看到，对于离散型的，

> **独立同分布的离散型随机样本的联合概率等于每个样本点概率的乘积** 这是独立同分布性质直接推出的核心结论

`例`设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布 $E(\lambda), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的一个样本，求此样本的概率密度．

解 由于总体 $X \sim E(\lambda)$ ，因此相应的概率密度为

$$
f(x)= \begin{cases}\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0 .\end{cases}
$$

于是样本概率密度为

$$
f^*\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i\right)= \begin{cases}\lambda^n \mathrm{e}^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i}, & x_1, x_2, \cdots, x_n>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

`例`  设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，试写出总体分布 $f\left(x ; \mu, \sigma^2\right)$ ．

**分析**：这是连续型的，假设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.
$$
独立样本 $(X_1, \dots, X_n)$ 的联合密度为：
$$
f^*(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}
= (2\pi\sigma^2)^{-n/2} e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2}.
$$
这就是正态样本的似然函数的形式。

**解**

$$
f\left(x ; \mu, \sigma^2\right) \hat{=} f_X(x)=(2\pi\sigma^2)^{-n/2} e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2}.
$$

> **这就是正态样本的似然函数的形式。**

**似然函数**：在参数估计中，若总体 PDF 是 $f(x;\theta)$，样本观测值为 $(x_1, \dots, x_n)$，则似然函数为  
 
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i ; \theta).
$$
 ，是数理统计中许多推断方法的基础。

上面结论可以这么理解：已知学生身高服从正态分布，但是均值$\mu,\sigma$并不知道，现在我们抽取5个学生，量的他们的身高是 170，171，172，169，170, 那么就可以使用者和5个样本来估算总体的的正态分布值。

`例`设 $X \sim N\left(0,0.3^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_{10}\right)$ 是取自 $X$ 的一个样本，求

$$
P\left\{\sum_{i=1}^{10} X_i^2>1.44\right\} .
$$

解 由 $X_i \sim N\left(0,0.3^2\right)$ 知 $\mu=0, \sigma=0.3$， 根据 [正态分布的标准化](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1566) ,即
$$
\frac{x-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)
$$
得

$$
\frac{X_i}{0.3} \sim N(0,1), \quad i=1,2, \cdots, 10
$$

故(下面的计算使用了后面的内容，即正态分布平方和是卡方分布)

$$
\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^{10}\left(\frac{X_i}{0.3}\right)^2=\frac{1}{0.09} \cdot \sum_{i=1}^{10} X_i^2 \sim \chi^2(10) \\
& P\left\{\sum_{i=1}^{10} X_i^2>1.44\right\}=P\left\{\frac{1}{0.09} \sum_{i=1}^{10} X_i^2>\frac{1.44}{0.09}\right\} \\
& =P\left\{\frac{1}{0.09} \sum_{i=1}^{10} X_i^2>16\right\}=0.1 .
\end{aligned}
$$

`例`从正态总体 $N\left(3,4,6^2\right)$ 中抽取容量为 $n$ 的样本，如果要求其样本均值位于区间 $(1,4,5,4)$ 内的概率不小于 0.95 ，问样本容量 $n$ 至少应取多大？

附表：标准正态分布表

![图片](/uploads/2026-06/b80d52.jpg)
 
 解 以 $\bar{X}$ 表示该样本均值，则

$$
\bar{X} \sim N\left(3.4, \frac{6^2}{n}\right),
$$

从而有

$$
\begin{aligned}
P\{1.4<\bar{X}<5.4\} & =P\{-2<\bar{X}-3.4<2\}=P\{|\bar{X}-3.4|<2\} \\
& =P\left\{\frac{|\bar{X}-3.4|}{6} \sqrt{n}<\frac{2 \sqrt{n}}{6}\right\}=2 \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{3}\right)-1 \geqslant 0.95 .
\end{aligned}
$$

故 $\quad \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{3}\right) \geqslant 0.975$ ．由此得 $\frac{\sqrt{n}}{3} \geqslant 1.96$ ．
即 $n \geqslant(1.96 \times 3)^2 \approx 34.57$ ，所以 $n$ 至少应取 35 ．

`例`设总体服从泊松分布 $P(\lambda), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是一样本．
（1）写出 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的概率分布．
（2）计算 $E(\bar{X}), D(\bar{X})$ 和 $E\left(S^2\right)$ 。
（3）设总体的容量为 10 的一组样本观察值为 $(1,2,4,3,3,4,5,6,4,8)$ ，试计算样本均值、样本方差和经验分布函数．

解（1）由于 $P\left\{X_i=x_i\right\}=\frac{\lambda^{x_i}}{x_{i}!} \mathrm{e}^{-\lambda}, \quad\left(x_i=0,1,2, \cdots\right) \lambda>0$
因此 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的概率分布为

$$
p\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{x_i}}{x_{i}!} \mathrm{e}^{-\lambda}=\frac{\mathrm{e}^{-n \lambda} \lambda_{i=1}^n x_i}{\prod_{i=1}^n x_{i}!} .
$$

（2）由于 $X \sim P(\lambda)$ ，所以 $E(X)=D(X)=\lambda$ ，则有

$$
E(\bar{X})=E(X)=\lambda, \quad D(\bar{X})=\frac{D(X)}{n}=\frac{\lambda}{n}, \quad E\left(S^2\right)=D(X)=\lambda .
$$

（3）

$$
\begin{aligned}
& \bar{X}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i=4 \\
& S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2=\frac{1}{n-1}\left[\sum_{i=1}^n X_i^2-n \bar{X}^i\right]=4
\end{aligned}
$$

经验分布函数 $F_{10}(x)$ 为

$$
F_{10}(x)= \begin{cases}0, & x<1 \\ \frac{1}{10}, & 1 \leqslant x<2 \\ \frac{2}{10}, & 2 \leqslant x<3 \\ \frac{4}{10}, & 3 \leqslant x<4 \\ \frac{7}{10}, & 4 \leqslant x<5 \\ \frac{8}{10}, & 5 \leqslant x<6 \\ \frac{9}{10}, & 6 \leqslant x<8 \\ 1, & x \geqslant 8\end{cases}
$$

## 统计量
`例`指出下列样本函数哪些是统计量，哪些不是统计量

$$
\begin{array}{ll}
T_1=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i, & T_2=X_n-E\left(X_1\right), \\
T_3=2 X_2+X_3, & T_4=\max \left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right), \\
T_5=\frac{X_1-\mu}{\sigma}, & T_6=\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2 .
\end{array}
$$

解：因为 $T_1, T_3, T_4$ 中不含未知参数，故 $T_1, T_3, T_4$ 是统计量，而 $T_2, T_5, T_6$ 中含未知参数 （其中 $T_2$ 中 $E X_1=\mu$ ），故 $T_2, T_5, T_6$ 不是统计量．

## 如何理解：多次抽样呈现正态分布
在抽样里，最重要的是由一个性质：多次抽样均值呈现正态分布。

### 1. 先想一个场景  
假设我们有一个很大很大的“豆子袋子”，里面装了各种重量的豆子，重量分布可能很乱：有的特别轻，有的特别重，甚至歪歪扭扭不对称（比如总体不是正态分布）。

现在你想知道**袋子里豆子的平均重量**是多少，但你不能直接把所有豆子倒出来称（太费劲）。于是你决定：

- 每次从袋子里**随机抓一把**（比如抓 30 颗）——这一把就是一个“样本”。
- 把这 30 颗豆子一起称重，算出它们的**平均重量**（这就是**样本均值**）。
- 把豆子放回去，摇匀袋子，**再抓一把**，再算平均重量……  
- 重复很多很多次，就得到**很多个样本均值**。

---

### 2. 关键现象  
你把这些“样本均值”画成一个柱状图（直方图），会发现：

- 如果只抓 1 颗豆子（样本量 $n=1$），那它的重量分布就是袋子原来的乱七八糟的样子（可能偏斜、不规则）。
- 当你一次抓很多颗（比如 $n=30$），然后算平均重量，这些平均值会**神奇地聚集在某个数值附近**，而且形状看起来像一座对称的“小山”（钟形曲线）。
- 抓得越多（样本量越大），这座“小山”越对称、越平滑，越像一个**正态分布**。

![图片](/uploads/2026-01/15df2f.jpg)
 
---

### 3. 为什么会这样？（通俗逻辑）

可以把**样本均值**看成“多次随机波动互相抵消”的结果：

- 单次抓豆子可能抓到特别重或特别轻的组合，造成偶然偏高或偏低。
- 但一次抓一大把时，重的豆子和轻的豆子会在平均时“互相拉平”，极端情况被稀释掉。
- 大量重复这个过程，平均值大多落在**总体真平均**附近，而且偏离太远的次数很少——这就形成了“中间多、两边少”的正态样子。

> 不管原来袋子里的豆子重量分布长什么样，只要你每次抓的数量足够多，并且重复很多次抓豆子算平均，这些平均值的分布就会变成钟形的正态分布。这其实就是上一节的中心极限定理。

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