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茎叶图与箱线图

## 茎叶图
统计数学的显示一种常用的方法是茎叶图。 下面我们从一个例子谈起。

`例`某公司对应聘人员进行能力测试，测试成绩总分为 150 分．下面是 50 位应聘人员的测试成绩（已经过排序）：

![图片](/uploads/2026-01/223159.jpg)
 
 我们用这批数据给出一个茎叶图．把每一个数值分为两部分，前面一部分（百位和十位）称为茎，后面部分（个位）称为叶，如

$$
\begin{array}{lllllll} 
数值 & & 分开 & & 茎 & 和 & 叶 \\
112 &  \rightarrow  & 11|2 &  \rightarrow  & 11 & 和 & 2
\end{array}
$$

然后画一条坚线，**在竖线的左侧写上茎，右侧写上叶，就形成了茎叶图** 应聘人员测试成绩的茎叶图见图5．2．3

![图片](/uploads/2026-01/b44acf.jpg)

茎叶图的外观很像横放的直方图，但茎叶图中叶增加了具体的数值，使我们对数据的具体取值一目了然，从而保留了数据中全部的信息。

在要比较两组样本时，可画出它们的**背靠背的茎叶图**，这是一个简单直观而有效的对比方法．

`例`面的数据是某厂两个车间某天各 40 名员工生产的产品数量（表5.2.2）．为对其进行比较，我们将这些数据放到一个背靠背茎叶图上（图5.2.4）．

![图片](/uploads/2026-01/13d6aa.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2026-01/22a7d6.jpg)
  
在图 5．2．4 中，茎在中间，左边表示甲车间的数据，右边表示乙车间的数据．从茎叶图可以看出，甲车间员工的产量偏于上方，而乙车间员工的产量大多位于中间，乙车间的平均产量要高于甲车间，乙车间各员工的产量比较集中，而甲车间员工的产量则比较分散。

## 箱线图
次序统计量的应用之一是五数概括与箱线图．在得到有序样本后，容易计算如下五个值：
①最小观测值 $x_{\text {min }}=x_{(1)}$ 
②最大观测值 $x_{\text {max }}=x_{(n)}$ 
③中位数 $m_{0.5}$ ，
④第一4分位数 $Q_1= m_{0.25}$ 
⑤第三 4 分位数 $Q_3=m_{0.75}$ ．

所谓五数概括就是指用这五个数

$$
x_{\min }, \quad Q_1, \quad m_{0.5}, \quad Q_3, \quad x_{\max }
$$

来大致描述一批数据的轮廓．

`例`表5．3．7 是某厂 160 名销售人员某月的销售量数据的有序样本，由该批数据可计算得到：$x_{\text {min }}=45, x_{\text {max }}=319, m_{0.5}=181, Q_1=144, Q_3=212$ ．

![图片](/uploads/2026-01/966a63.jpg)
 
 五数概括的图形表示称为箱线图，由箱子和线段组成．图 5．3．7 是上例 中样本数据的箱线图，其作法如下：
（1）画一个箱子，其两侧恰为第一 4 分位数和第三 4 分位数，在中位数位置上画一条坚线，它在箱子内．这个箱子包含了样本中 $50 \%$ 的数据；
（2）在箱子左右两侧各引出一条水平线，分别至最小值和最大值为止．每条线段包含了样本中 $25 \%$ 的数据．

![图片](/uploads/2026-01/c52590.jpg)
 
 箱线图可用来对样本数据分布的形状进行大致的判断．图5．3．8给出三种常见的箱线图，分别对应左偏分布、对称分布和右偏分布．
 
  ![图片](/uploads/2026-01/3ce491.jpg)
  
  如果我们要对几批数据进行比较，则可以在一张纸上同时画出这几批数据的箱线图．图 5．3．9 是根据某厂 20 天生产的某种产品的直径数据画成的箱线图，从图中可以清楚地看出，第 18 天的产品出现了异常．

![图片](/uploads/2026-01/b67421.jpg)
 
### 箱线图

数据集的箱线图是由箱子和直线组成的图形，它是基于以下 5 个数的图形概括：最小值 Min，第一四分位数 $Q_1$ ，中位数 $M$ ，第三四分位数 $Q_3$ 和最大值 Max．它的作法如下：
（1）画一水平数轴，在轴上标上 $\operatorname{Min}, Q_1, M, Q_3, \operatorname{Max}$ ．在数轴上方画一个上、下侧平行于数轴的矩形箱子，箱子的左右两侧分别位于 $Q_1, Q_3$ 的上方。在 $M$点的上方画一条垂直线段．线段位于箱子内部．
（2）自箱子左侧引一条水平线直至最小值 Min；在同一水平高度自箱子右侧引一条水平线直至最大值．这样就将箱线图作好了，如图 6－2 所示．箱线图也可以沿垂直数轴来作．自箱线图可以形象地看出数据集的以下重要性质．

![图片](/uploads/2026-06/86e131.jpg)

①中心位置：中位数所在的位置就是数据集的中心。
②散布程度：全部数据都落在［Min， $M a x$ ］之内，在区间［ $\operatorname{Min}, Q_1$ ］，$\left[Q_1, M\right]$ ， $\left[M, Q_3\right],\left[Q_3, \operatorname{Max}\right]$ 的数据个数各占 $1 / 4$ ．区间较短时，表示落在该区间的点较集中，反之较为分散。
（3） 关于对称性：若中位数位于箱子的中间位置．则数据分布较为对称．又若 $\operatorname{Min}$ 离 $M$ 的距离较 $\operatorname{Max}$ 离 $M$ 的距离大，则表示数据分布向左倾斜，反之表示数据向右倾斜，且能看出分布尾部的长短．

`例`以下是8个病人的血压（收缩压， mmHg ）数据（已经过排序），试作出箱线图．
$$ 
102   110   117   118   122   123   132  150 
$$

解 因 $n p=8 \times 0.25=2$ ，故 $Q_1=\frac{1}{2}(110+117)=113.5$ ．
因 $n p=8 \times 0.5=4$ ，故 $x_{0.5}=Q_2=\frac{1}{2}(118+122)=120$ ．
因 $n p=8 \times 0.75=6$ ，故 $x_{0.75}=Q_3=\frac{1}{2}(123+132)=127.5$ ．
$\operatorname{Min}=102, \operatorname{Max}=150$ ，作出箱线图如图6－3所示。

![图片](/uploads/2026-06/a09619.jpg)
 
`例`下面分别给出了 25 个男子和 25 个女子的肺活量（以升计。数据已经过排序）
$$
\begin{array}
女子组 & 2.7 & 2.8 & 2.9 & 3.1 & 3.1 & 3.1 & 3.2 & 3.4 & 3.4 \\
& 3.4 & 3.4 & 3.4 & 3.5 & 3.5 & 3.5 & 3.6 & 3.7 & 3.7 \\
男子组 & 3.7 & 3.8 & 3.8 & 4.0 & 4.1 & 4.2 & 4.2 & & \\
& 4.1 & 4.1 & 4.3 & 4.3 & 4.5 & 4.6 & 4.7 & 4.8 & 4.8 \\
& 5.1 & 5.3 & 5.3 & 5.3 & 5.4 & 5.4 & 5.5 & 5.6 & 5.7 \\
& 5.8 & 5.8 & 6.0 & 6.1 & 6.3 & 6.7 & 6.7 & & 。
\end{array}
$$
试分别画出这两组数据的箱线图．
解 女子组 $\operatorname{Min}=2.7, \operatorname{Max}=4.2, M=3.5$ ，
因 $n p=25 \times 0.25=6.25, Q_1=3.2$ ．
因 $n p=25 \times 0.75=18.75, Q_3=3.7$ ．
男子组 $\operatorname{Min}=4.1, \operatorname{Max}=6.7, M=5.3$ ，
因 $n p=25 \times 0.25=6.25, Q_1=4.7$ ．
因 $n p=25 \times 0.75=18.75, Q_3=5.8$ ．
作出箱线图如图 6－4 所示．

![图片](/uploads/2026-06/798c8a.jpg)

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