最后更新: 2025-05-27 05:12 查看: 94 次反馈同步训练

高考研究：数列与概率的组合，新高考不可忽视的压轴大题

在当今世界，AI风行，而AI本质是靠大数据和概率论，这种模式可能导致未来数列与概率的几何是未来新高考考试的压轴题，虽然数列和概率分开难度算中等，但是这两者一结合，难度立刻大幅度提升。

## 基本知识点
1. 构造等比数列求通项公式
若 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=(p+1) a_n-p a_{n-1}(n=1$ ， $2, \cdots, n ; p \neq 0,1)$ ，则 $a_{n+1}-a_n=p\left(a_n-a_{n-1}\right)$ ，即 $\left\{a_n-a_{n-1}\right\}$ 是首项为 $a_1+a_0$ ，公比为 $p$ 的等比数列．

2.全概率公式

一般地，设 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 是一组两两互斥的事件，$A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n=\Omega$ ，且 $P\left(A_i\right)>0(i=1,2, \cdots$ ， $n)$ ，则对任意的事件 $B \subseteq \Omega$ ，有

$$
P(B)=\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right) .
$$

## 例1

甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲，乙两个口袋中各任取一个球交换放人另一个口袋，重复 $n$次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_n$ ，恰有 2 个黑球的概率为 $p_n$ ，恰有 1 个黑球的概率为 $q_n$ 。
（1）求 $p_1, q_1$ 和 $p_2, q_2$ ；
（2）求 $2 p_n+q_n$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系和 $X_n$的数学期望 $E\left(X_n\right)$（用 $n$ 表示）．

（1）由题意可知 $p_1=\frac{1}{3}, q_1=\frac{2}{3}$ ，从而

$$
\begin{gathered}
p_2=\frac{1}{3} p_1+\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} q_1=\frac{7}{27} \\
q_2=\frac{2}{3} p_1+\left(\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) q_1=\frac{16}{27}
\end{gathered}
$$

（2）由题意知 $P\left(X_n=2\right)=p_n, P\left(X_n=1\right)=q_n$ ， $P\left(X_n=0\right)=1-p_n-q_n$ ，根据全概率公式可得

$$
\begin{gathered}
p_{n+1}=\frac{1}{3} p_n+\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} q_n+0 \times\left(1-p_n-q_n\right) \\
q_{n+1}=\frac{2}{3} p_n+\left(\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) q_n+\frac{2}{3}\left(1-p_n-q_n\right),
\end{gathered}
$$

整理可得

$$
\begin{gathered}
p_{n+1}=\frac{1}{3} p_n+\frac{2}{9} q_n, ...(1) \\
q_{n+1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{9} q_n  ...(2)
\end{gathered}
$$

则 $2 \times(1)+(2)$ 得

$$
2 p_{n+1}+q_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2 p_n+q_n\right)+\frac{2}{3},
$$

则

$$
2 p_n+q_n=\frac{1}{3}\left(2 p_{n-1}+q_{n-1}\right)+\frac{2}{3}
$$

其中 $n \geqslant 2$ 且 $n \in N ^*$ ，所以

$$
2 p_n+q_n-1=\frac{1}{3}\left(2 p_{n-1}+q_{n-1}-1\right) .
$$

因为 $2 p_1+q_1-1=\frac{1}{3}$ ，所以数列 $\left\{2 p_n+q_n-1\right\}$是首项为 $\frac{1}{3}$ ，公比为 $\frac{1}{3}$ 的等比数列，故 $2 p_n+q_n-1=$ $\left(\frac{1}{3}\right)^n$ ，即 $2 p_n+q_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n+1$ 。

依题意可知，$X_n$ 的所有可能取值为 $0,1,2$ ，其分布列如表 2 所示。

表2
 ![图片](/uploads/2025-04/dc1a38.jpg)

$$
E\left(X_n\right)=0 \times\left(1-p_n-q_n\right)+q_n+2 p_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n+1 .
$$

点评：第（2）问不是直接给出递推关系式，而是让考生运用全概率公式来求递推关系式，给出了研究递推关系式的方向，为求期望奠定了基础。事实上，利用递推关系式可以求出通项公式。由

$$
\begin{gathered}
\left\{\begin{array}{l}
p_{n+1}=\frac{1}{3} p_n+\frac{2}{9} q_n, \\
q_{n+1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{9} q_n,
\end{array}\right. \\
\text { 可得 }\left\{\begin{array}{l}
2 p_{n+1}+q_{n+1}-1=\frac{1}{3}\left(2 p_n+q_n-1\right), \\
q_{n+1}-\frac{3}{5}=-\frac{1}{9}\left(q_n-\frac{3}{5}\right),
\end{array}\right.
\end{gathered}
$$

整理得

$$
\begin{aligned}
&\left\{\begin{array}{l}
2 p_n+q_n-1=\left(\frac{1}{3}\right)^n, \\
q_n-\frac{3}{5}=-\frac{3}{5} \times\left(-\frac{1}{9}\right)^n,
\end{array}\right.\\
&\text { 则数列 }\left\{p_n\right\} \text { 与 }\left\{q_n\right\} \text { 的通项公式为 }\\
&\left\{\begin{array}{l}
p_n=\frac{3}{10} \times\left(-\frac{1}{9}\right)^n+\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{3}\right)^n+\frac{1}{5}, \\
q_n=-\frac{3}{5} \times\left(-\frac{1}{9}\right)^n+\frac{3}{5} .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

## 例2
＂绿色出行，低碳环保＂的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚。甲，乙，丙三人为响应＂绿色出行，低碳环保＂号召，他们计划每天选择＂共享单车＂或＂地铁＂两种出行方式中的一种。他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每天选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{2}{3}$ ，丙在每月第一天选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{3}{4}$ ，从第二天起，若前一天选择＂共享单车＂，后一天继续选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{1}{4}$ ，若前一天选择＂地铁＂，后一天继续选择＂地铁＂的概率为 $\frac{1}{3}$ ，如此往复．
（1）若 3 月 1 日有两人选择＂共享单车＂出行，求丙选择＂共享单车＂的概率；
（2）记甲，乙，丙三人中 3 月 1 日选择＂共享单车＂出行的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；
（3）求丙在 3 月份第 $n(n=1,2, \cdots, 31)$ 天选择＂共享单车＂的概率 $P_n$ ，并帮丙确定在 3 月份中选择＂共享单车＂的概率大于＂地铁＂的概率的天数．

解：
【详解】（1）记甲，乙，丙三人 3 月 1 日选择＂共享单车＂出行分别为事件 $A, B, C$ ，记三人中恰有两人选择＂共享单车＂出行为事件 $D$ ，

$$
\begin{aligned}
& \text { 则 } P(D)=P(A B \bar{C})+P(A \bar{B} C)+P(\bar{A} B C)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}+\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}=\frac{11}{24} \text {, } \\
& \text { 又 } P(C D)=P(\bar{A} B C)+P(A \bar{B} C)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}=\frac{3}{8},
\end{aligned}
$$

所以 $P(C \mid D)=\frac{P(C D)}{P(D)}=\frac{\frac{3}{8}}{\frac{11}{24}}=\frac{9}{11}$ ，
即若 3 月 1 日有两人选择＂共享单车＂出行，丙选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{9}{11}$ ．
（2）由题意可知，$X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$ ，

$$
\begin{aligned}
& \text { 则 } P(X=0)=P(\overline{A B C})=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{24}, \\
& P(X=1)=P(A \overline{B C})+P(\bar{A} B \bar{C})+P(\overline{A B} C)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}+\f

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