最后更新: 2025-02-28 08:11 查看: 52 次反馈同步训练

课外阅读：柯西分布

## 柯西分布
柯西分布也叫作柯西-洛伦兹分布，它是以奥古斯丁·路易·柯西与亨德里克·洛伦兹名字命名的连续概率分布，其概率密度函数为
$$
\begin{aligned}
& f\left(x ; x_0, \gamma\right)=\frac{1}{\pi \gamma\left[1+\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \\
& =\frac{1}{\pi}\left[\frac{\gamma}{\left(x-x_0\right)^2+\gamma^2}\right]
\end{aligned}
$$

其中 $x_0$ 是定义分布峰值位置的位置参数，$y$ 是尺度参数，是半峰全宽／四分位距的一半。

![图片](/uploads/2025-02/86b100.jpg){width=400px}

作为概率分布，通常叫作柯西分布，物理学家也将之称为洛伦兹分布或者Breit－Wigner分布。在物理学中的重要性很大—部分归因于它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状。在下面的部分将使用柯西分布这个统计学术语。

## 标准柯西分布

$x_0=0$ 且 $y=1$ 的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为
 
$$
\boxed{
f(x ; 0,1)=\dfrac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}
}
$$

对 $1 /\left(1+x^2\right)$ 的原函数是 $\arctan (x)$ ，于是

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{1+x^2}=2 \int_0^{\infty} \frac{d x}{1+x^2}=2[\arctan (\infty)-\arctan (0)]=2\left[\frac{\pi}{2}-0\right]= \pi
$$

因此，为了使积分值为 1 ，上式必须要乘以 $1 / \pi$ 。

### 柯西分布没有数学期望值
柯西分布没有数学期望值， 柯西分布为什么没有数学期望值？我们不是应该考察

$$
\int_{-\infty}^{\infty} x \frac{d x}{\pi\left(1+x^2\right)}
$$

吗？奇函数在对称区间上的积分不应该等于 0 吗？与往常一样，出问题的地方与无穷大有关——当涉及无穷大时，你一定要非常小心．正确说法是这样的：这种反常积分存在，当且仅当

$$
\lim _{A, B \rightarrow \infty} \int_{-A}^B x \frac{d x}{\pi\left(1+x^2\right)}
$$

存在，而且无论 $A, B$ 以何种方式趋近于无穷大，上述积分值保持不变。不幸的是，在我们的例子中，积分值与 $A, B$ 趋近于无穷大的方式有关．例如，如果 $B=A$ ，那么积分值是 0 ，但当 $B=2 A$ 时，从 $

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：连续型随机变量函数的分布

下一篇：课外阅读：狄利克雷分布

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)