最后更新: 2025-12-20 10:58 查看: 91 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

连续型(柯西分布Cauchy )

## 柯西分布
柯西分布也叫作柯西-洛伦兹分布，它是以奥古斯丁·路易·柯西与亨德里克·洛伦兹名字命名的连续概率分布，其概率密度函数为
$$
\begin{aligned}
& f\left(x ; x_0, \gamma\right)=\frac{1}{\pi \gamma\left[1+\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \\
& =\frac{1}{\pi}\left[\frac{\gamma}{\left(x-x_0\right)^2+\gamma^2}\right]
\end{aligned}
$$

其中 $x_0$ 是定义分布峰值位置的位置参数，$y$ 是尺度参数，是半峰全宽／四分位距的一半。

![图片](/uploads/2025-02/86b100.jpg){width=400px}

作为概率分布，通常叫作柯西分布，物理学家也将之称为洛伦兹分布或者Breit－Wigner分布。在物理学中的重要性很大—部分归因于它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状。在下面的部分将使用柯西分布这个统计学术语。

## 标准柯西分布

$x_0=0$ 且 $y=1$ 的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为
 
$$
\boxed{
f(x ; 0,1)=\dfrac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}
}
$$

对 $1 /\left(1+x^2\right)$ 的原函数是 $\arctan (x)$ ，于是

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{1+x^2}=2 \int_0^{\infty} \frac{d x}{1+x^2}=2[\arctan (\infty)-\arctan (0)]=2\left[\frac{\pi}{2}-0\right]= \pi
$$

因此，为了使积分值为 1 ，上式必须要乘以 $1 / \pi$ 。

## 累积分布函数（CDF）
柯西分布的累积分布函数为：
$$
F(x;\mu,\gamma) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan\left(\frac{x-\mu}{\gamma}\right)
$$
对于标准柯西分布（$\mu=0,\gamma=1$），CDF 为：
$$
F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan x
$$

## 柯西分布没有数学期望值
柯西分布没有数学期望值， 柯西分布为什么没有数学期望值？我们不是应该考察

$$
\int_{-\infty}^{\infty} x \frac{d x}{\pi\left(1+x^2\right)}
$$

吗？奇函数在对称区间上的积分不应该等于 0 吗？与往常一样，出问题的地方与无穷大有关——当涉及无穷大时，你一定要非常小心．正确说法是这样的：这种反常积分存在，当且仅当

$$
\lim _{A, B \rightarrow \infty} \int_{-A}^B x \frac{d x}{\pi\left(1+x^2\right)}
$$

存在，而且无论 $A, B$ 以何种方式趋近于无穷大，上述积分值保持不变。不幸的是，在我们的例子中，积分值与 $A, B$ 趋近于无穷大的方式有关．例如，如果 $B=A$ ，那么积分值是 0 ，但当 $B=2 A$ 时，从 $-A$ 到 $A$ 的积分值为 0 ，这样就得到了
$$
\lim _{A \rightarrow \infty} \int_{-A}^{2 A} x \frac{d x}{\pi\left(1+x^2\right)}=\lim _{A \rightarrow \infty} \int_A^{2 A} \frac{x d x}{\pi\left(1+x^2\right)}
$$

当 $A$ 较大时，$x /\left(1+x^2\right)$ 近似于 $1 / x$（更精确的说法是，$x /\left(1+x^2\right)$ 大于等于 $1 / 2 x$ ，且小于等于 $1 / x)$ ，那么积分值就近似于

$$
\lim _{A \rightarrow \infty} \int_A^{2 A} \frac{d x}{\pi x}=\frac{1}{\pi}[\log (2 A)-\log (A)]=\frac{\log (2)}{\pi} \neq 0
$$

因此，均值的积分与趋近于无穷大的路径有关，所以均值不存在.
方差的情况更

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：连续型(瑞利分布Rayleigh)

下一篇：连续型(狄利克雷Dirichlet 分布)

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)