最后更新: 2025-03-08 08:21 查看: 39 次反馈刷题

勾股数

## 勾股数
毕达哥拉斯定理（即勾股定理）是中学生＂喜爱＂的公式，它表明任一个直角三角形 （如图2．1 所示）的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．用公式表示就是

$$
a^2+b^2=c^2
$$

![图片](/uploads/2025-03/b8b9c7.jpg)
 
因为对数论（即自然数理论）感兴趣，所以我们会问是否存在毕达哥拉斯三角形，它的所有边长都是自然数．有许多这样的三角形，最著名的例子是边长为 $3,4,5$ 的三角形 。下面是前几个例子：

$$
\begin{aligned}
& 3^2+4^2=5^2, \quad 5^2+12^2=13^2 \\
& 8^2+15^2=17^2, \quad 28^2+45^2=53^2
\end{aligned}
$$

对勾股数组的研究在毕达哥拉斯时代以前很久就开始了．包含这种三元组的巴比伦表格中甚至有很大的三元组，这表明巴比伦人可能拥有得到这种三元组的系统方法。更令人惊讶的是，巴比伦人似乎使用他们的勾股数组表作为原始的三角形表。古埃及人也使用勾股数组。例如，产生直角的粗略方法是取一根绳子，将其分成 12 等份，系成一个圈再绷成一个 3－4－5三角的形状，如图2．2所示。这为标记地界或建造金字塔等提供了一种廉价的直角工具．
 ![图片](/uploads/2025-03/65a160.jpg)

巴比伦人与古埃及人拥有研究勾股数组的实际理由．这种实际理由仍存在吗？对于这种特殊问题，答案是＂未必＂．然而研究勾股数组至少有一种好的理由，与值得研究伦布兰特艺术和贝多芬音乐的理由相同。数之间相互影响方式的美正如油画或交响乐创作的美．为欣赏这种美，人们不得不花费大量精力．但是这种努力是值得的．本书的目的是理解并欣赏真正优美的数学，学会如何发现与证明这种数学，甚至作出我们自己原创性的贡献。

你无疑会认为这有点胡说，让我们看些实例．第一个朴素问题是，是否存在无穷多个勾股数组，即满足方程 $a^2+b^2=c^2$ 的自然数三元组 $(a, b, c)$ ．答案是＂肯定的＂．如果取勾股数组 $(a, b, c)$ ，用整数 $d$ 乘它，则得到新的勾股数组 $(d a, d b, d c)$ ．这是成立的，因为

$$
(d a)^2+(d b)^2=d^2\left(a^2+b^2\right)=d^2 c^2=(d c)^2
$$

显然，这些新的勾股数组并不令人感兴趣．所以我们转而关注没有（大于 1 ）公因数的三元组．我们甚至给它们起个名字：

**本原勾股数组**（简写为 PPT）是一个三元组 $(a, b, c)$ ，其中 $a, b, c$ 没有公因数 ，且满足

$$
a^2+b^2=c^2
$$

第一步是积累数据．使用计算机代人具体的 $a, b$ 值并检查 $a^2+b^2$ 是否为平方数．下面是得到的一些本原勾股数组：

$$
\begin{array}{llll}
(3,4,5), & (5,12,13), & (8,15,17), & (7,24,25), \\
(20,21,29), & (9,40,41), & (12,35,37), & (11,60,61), \\
(28,45,53), & (33,56,65), & (16,63,65) . &
\end{array}
$$

由这个短表容易得到一些结论．例如，似乎 $a$ 与 $b$ 奇偶性不同且 $c$ 总是奇数．

不难证明这些猜想是正确的．首先，如果 $a$ 与 $b$ 都是偶数，则 $c$ 也是偶数．这意味着 $a$ ； $b, c$ 有公因数 2 ，所以三元组不是本原的．其次，假设 $a, b$ 都是奇数，那么 $c$ 必是偶数．于是存在整数 $x, y, z$ 使得

$$
a=2 x+1, \quad b=2 y+1, \quad c=2 z
$$

将其代人方程 $a^2+b^2=c^2$ 得

$$
\begin{aligned}
(2 x+1)^2+(2 y+1)^2 & =(2 z)^2 \\
4 x^2+4 x+4 y^2+4 y+2 & =4 z^2
\end{aligned}
$$

两边除以 2 得

$$
\quad 2 x^2+2 x+2 y^2+2 y+1=2 z^2
$$

最后一个等式说的是一个奇数等于一个偶数，这是不可能的，所以 $a$ 与 $b$ 不能都是奇数．因为我们已证明它们不可能都是偶数，也不可能都是奇数，故它们的奇偶性不同。再由方程 $a^2+b^2=c^2$ 可得 $c$ 是奇数．

考虑到 $a, b$ 的互换性，我们的问题化为求解方程

$$
a^2+b^2=c^2, \quad a \text { 是奇数, } b \text { 是偶数, } a, b, c \text { 没有公因数 }
$$

的所有自然数解．我们使用的工具是因数分解和整除性。
我们的第一个观察如下：如果 $(a, b, c)$ 是本原勾股数组，则可进行因数分解

$$
a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)
$$

下面是来自前面列表的例子，注意我们总是取 $a$ 是奇数且 $b$ 是偶数：

$$
\begin{aligned}
3^2 & =5^2-4^2=(5-4)(5+4)=1 \cdot 9, \\
15^2 & =17^2-8^2=(17-8)(17+8)=9 \cdot 25, \\
35^2 & =37^2-12^2=(37-12)(37+12)=25 \cdot 49, \\
33^2 & =65^2-56^2=(65-56)(65+56)=9 \cdot 121 .
\end{aligned}
$$

似乎 $c-b$ 与 $c+b$ 本身总是平方数．我们用另外两个例子验证这个观察：

$$
21^2=29^2-20^2=(29-20)(29+20)=9 \cdot 49,
$$

$$
63^2=65^2-16^2=(65-16)(65+16)=49 \cdot 81
$$

怎样证明 $c-b$ 与 $c+b$ 都是平方数呢？由前面的列表，另一个观察是 $c-b$ 与 $c+b$ 似乎没有公因数．我们可如下证明这个断言：假设正整数 $d$ 是 $c-b$ 与 $c+b$ 的公因数，即 $d$ 整除 $c-b$ 与 $a+b$ ．则 $d$ 也整除

$$
(c+b)+(c-b)=2 c \quad \text { 与 } \quad(c+b)-(c-b)=2 b \text {. }
$$

因此 $d$ 整除 $2 b$ 与 $2 c$ ．但是 $b$ 与 $c$ 没有公因数，这是因为我们假设了 $(a ; b, c)$ 是本原勾股数组．从而 $d$ 必等于 1 或 2 ．但 $d$ 也整除 $(c-b)\left(c_i+b\right)=a^2$ 且 $a$ 是奇数，故 $d$ 必等于 1 ．换句话说，整除 $c-b$ 与 $c+b$ 的数只能是 1 ，所以 $c-b$ 与 $c+b$ 没有公因数：

现在我们知道 $c-b$ 与 $c+b$ 没有公因数而且由于 $(c-b)(c+b)=a^2$ ，所以 $c-b$ 与 $c+b$的积是平方数．这种情况只有在 $c-b$ 与 $c+b$ 自身都是平方数时才出现 ${ }^{\ominus}$ 。记

$$
c+b=s^2 \quad \text { 与 } \quad c-b=t^2
$$

其中 $s>t \geqslant 1$ 是没有公因数的奇数．关于 $b$ 和 $c$ 解这两个方程得

$$
c=\frac{s^2+t^2}{2} \quad 与^{-} \quad b=\frac{s^2-t^2}{2}
$$

于是

$$
a=\sqrt{(c-b)(c+b)}=s t .
$$

这就完成了第一个证明．下述定理记录了我们的结果．

**（勾股数组定理）** 每个－本原勾股数组 $(a, b, c)$（其中 $a$ 为奇数，$b$ 为偶数）都可从如下公式得出：

$$
a=s t, \quad \dot{b}=\frac{s^2-t^2}{2}, \quad c=\frac{s^2+t^2}{2}
$$

其中 $s>t \geqslant 1$ 是任意没有公因数的奇数：
例如，如果取 $t=1$ ，则得三元组 $\left(s, \frac{s^2-1}{2}, \frac{s^2+1}{2}\right)$ ，它的 $b$ 与 $c$ 值仅相差 1．这就解释了上面列出的许多例子．

### 常见勾股数
 • **(3, 4, 5)**：这是最常见也是最小的一组勾股数，因为$3^{2}+4^{2}=9 + 16=25=5^{2}$ 。
 • **(5, 12, 13)**：同样满足勾股定理，$5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169=13^{2}$ 。
 • **(8, 15, 17)**：$8^{2}+15^{2}=64+225 = 289=17^{2}$ 。
 • **(7, 24, 25)**：$7^{2}+24^{2}=49 + 576=625=25^{2}$ 。

### 勾股数的性质
 • **倍数性质**：若$(a,b,c)$是一组勾股数，那么对于任意正整数$k$，$(ka,kb,kc)$也是一组勾股数。例如，因为$(3,4,5)$是勾股数，当$k = 2$时，$(6,8,10)$也是勾股数，$6^{2}+8^{2}=36 + 64 = 100=10^{2}$ 。
 • **奇偶性**：一组勾股数中，要么有两个奇数一个偶数，要么三个数都是偶数（当这组勾股数是由其他勾股数扩大偶数倍得到时）。而且斜边一定是奇数或者偶数，但直角边不可能同时为奇数（因为两个奇数的平方和是偶数，不可能等于另一个奇数的平方）。

### 勾股数的构造方法
 • **奇数构造法**：对于任意大于$1$的奇数$m$ ，可以按照以下方式构造勾股数。设$a=m$，$b=\frac{m^{2}-1}{2}$，$c=\frac{m^{2}+1}{2}$ ，则$(a,b,c)$是一组勾股数。例如当$m = 9$时，$a = 9$，$b=\frac{9^{2}-1}{2}=\frac{81 - 1}{2}=40$，$c=\frac{9^{2}+1}{2}=\frac{81+1}{2}=41$ ，而$9^{2}+40^{2}=81 + 1600=1681=41^{2}$ 。 
 • **偶数构造法**：对于任意大于$4$的偶数$n$ ，设$a=n$，$b=\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-1$，$c=\left(\frac{n}{2}\right)^{2}+1$ ，则$(a,b,c)$构成一组勾股数 。例如当$n = 12$时，$a = 12$，$b=\left(\frac{12}{2}\right)^{2}-1=36 - 1 = 35$，$c=\left(\frac{12}{2}\right)^{2}+1=36+1 = 37$ ，$12^{2}+35^{2}=144 + 1225=1369=37^{2}$ 
 
 
 
 ## 勾股数组与单位圆
在上面我们描述了。

$$
a^2+b^2=c^2
$$

的所有整数解 $a, b, c$ ．如果用 $c^2$ 除这个方程则得

$$
\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=1
$$

所以，有理数对 $(a / c, b / c)$ 是方程 $x^2+y^2=1$的解．
 ![图片](/uploads/2025-03/66ef46.jpg)
 
 大家知道方程 $x^2+y^2=1$ 代表中心在 $(0,0)$ 半径为 1 的圆 $C$ ．我们打算从几何角度来求圆 $C$ 上 $x$坐标与 $y$ 坐标都是有理数的点．注意圆上有 4 个明显的具有有理数坐标的点：$( \pm 1,0)$ 与 $(0, \pm 1)$ ．假设我们取任意（有理）数 $m$ ，观察过点 $(-1,0)$斜率为 $m$ 的直线 $L$（见图 3．1）．直线 $L$ 由方程

$$
L: y=m(x+1)
$$

给出．从图形上看交集 $C \cap L$ 恰好由两个点组成，其中一个是 $(-1,0)$ ，我们来求另一个．
为求 $C$ 与 $L$ 的交集，需要解关于 $x$ 与 $y$ 的方程组

$$
x^2+y^2=1, \quad y=m(x+1)
$$

将第二个方程代人第一个方程并化简得到

$$
\begin{aligned}
x^2+(m(x+1))^2 & =1 \\
x^2+m^2\left(x^2+2 x+1\right) & =1 \\
\left(m^2+1\right) x^2+2 m^2 x+\left(m^2-1\right) & =0
\end{aligned}
$$

这正好是个二次方程，所以可用二次方程求根公式来解出 $x$ ．但是，有一种更容易的解方程的方法．由于点 $(-1,0)$ 在 $C$ 与 $L$ 上，我们知道 $x=-1$ 必是一个解．因此可用 $x+1$ 去除二次多项式
 ![图片](/uploads/2025-03/75d9de.jpg)
 
 来求另一个桹．所以，另一个根是方程 $\left(m^2+1\right) \dot{x}+\left(m^2-1\right)=0$ 的解，这意味着

$$
x=\frac{1-m^2}{1+m^2} .
$$

将 $x$ 的值代入直线 $L$ 的方程 $y=m(x+1)$＇来求 $y$ 坐标：

$$
y=m(x+1)=m\left(\frac{1-m^2}{1+m^2}+1\right)=\frac{2 m}{1+m^2}
$$

这样，对每个有理数 $m$ 得到方程 $x^2+y^2=1$ 的一个有理数解

$$
\left(\frac{1-m^2}{1+m^2}, \frac{2 m}{1+m^2}\right)
$$

另一方面，如果得到一个有理数解 $\left(x_1, y_1\right)$ ，则过点 $\left(x_1, y_1\right)$ 与 $(-1,0)$ 的直线斜率是有理数．所以，通过取 $m$ 的所有可能值，上述过程就生成方程 $x^2+y^2=1$ 的所有有理数解。 （点（ $-1,0$ ）例外，它对应着斜率 $m=\infty$ 的铅直线．）我们将结果概括成下述定理．

定理3．1 圆 $x^2+y^2=1$ 上的坐标是有理数的点都可由公式

$$
(x, y)=\left(\frac{1-m^2}{1+m^2}, \frac{2 m}{1+m^2}\right)
$$

得到，其中 $m$ 取有理数值。（点 $(-1,0)$ 例外，这是当 $m \rightarrow \infty$ 时的极限值．）
圆上的有理点公式如何与勾股数组公式联系在一起呢？如果将有理数 $m$ 写成分数 $v / u$ ，则公式变成

$$
(x, y)=\left(\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}, \frac{2 u v}{u^2+v^2}\right),
$$

消去分母就给出勾股数组

$$
(a, b, c)=\left(u^2-v^2, 2 u v, u^2+v^2\right) .
$$

虽然描述本原勾股数组需要对 $u$ 与 $v$ 作一些限制，但这是描述所有勾股数组的另一种方法．通过令

$$
u=\frac{s+t}{2} \quad \text { 与 } \quad v=\frac{s-t}{2}
$$

可将这里的描述与上面的公式相联系．

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