最后更新: 2025-10-16 10:08 查看: 144 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

课外阅读：勾股数

## 勾股数
毕达哥拉斯定理（即勾股定理）是中学生＂喜爱＂的公式，它表明任一个直角三角形 （如图2．1 所示）的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．用公式表示就是

$$
a^2+b^2=c^2
$$

![图片](/uploads/2025-03/b8b9c7.jpg)
 
因为对数论（即自然数理论）感兴趣，所以我们会问是否存在毕达哥拉斯三角形，它的所有边长都是自然数．有许多这样的三角形，最著名的例子是边长为 $3,4,5$ 的三角形 。下面是前几个例子：

$$
\begin{aligned}
& 3^2+4^2=5^2, \quad 5^2+12^2=13^2 \\
& 8^2+15^2=17^2, \quad 28^2+45^2=53^2
\end{aligned}
$$

对勾股数组的研究在毕达哥拉斯时代以前很久就开始了．包含这种三元组的巴比伦表格中甚至有很大的三元组，这表明巴比伦人可能拥有得到这种三元组的系统方法。更令人惊讶的是，巴比伦人似乎使用他们的勾股数组表作为原始的三角形表。古埃及人也使用勾股数组。例如，产生直角的粗略方法是取一根绳子，将其分成 12 等份，系成一个圈再绷成一个 3－4－5三角的形状，如图2．2所示。这为标记地界或建造金字塔等提供了一种廉价的直角工具．
 ![图片](/uploads/2025-03/65a160.jpg)

巴比伦人与古埃及人拥有研究勾股数组的实际理由．这种实际理由仍存在吗？对于这种特殊问题，答案是＂未必＂．然而研究勾股数组至少有一种好的理由，与值得研究伦布兰特艺术和贝多芬音乐的理由相同。数之间相互影响方式的美正如油画或交响乐创作的美．为欣赏这种美，人们不得不花费大量精力．但是这种努力是值得的．本书的目的是理解并欣赏真正优美的数学，学会如何发现与证明这种数学，甚至作出我们自己原创性的贡献。

你无疑会认为这有点胡说，让我们看些实例．第一个朴素问题是，是否存在无穷多个勾股数组，即满足方程 $a^2+b^2=c^2$ 的自然数三元组 $(a, b, c)$ ．答案是＂肯定的＂．如果取勾股数组 $(a, b, c)$ ，用整数 $d$ 乘它，则得到新的勾股数组 $(d a, d b, d c)$ ．这是成立的，因为

$$
(d a)^2+(d b)^2=d^2\left(a^2+b^2\right)=d^2 c^2=(d c)^2
$$

显然，这些新的勾股数组并不令人感兴趣．所以我们转而关注没有（大于 1 ）公因数的三元组．我们甚至给它们起个名字：

**本原勾股数组**（简写为 PPT）是一个三元组 $(a, b, c)$ ，其中 $a, b, c$ 没有公因数 ，且满足

$$
a^2+b^2=c^2
$$

第一步是积累数据．使用计算机代人具体的 $a, b$ 值并检查 $a^2+b^2$ 是否为平方数．下面是得到的一些本原勾股数组：

$$
\begin{array}{llll}
(3,4,5), & (5,12,13), & (8,15,17), & (7,24,25), \\
(20,21,29), & (9,40,41), & (12,35,37), & (11,60,61), \\
(28,45,53), & (33,56,65), & (16,63,65) . &
\end{array}
$$

由这个短表容易得到一些结论．例如，似乎 $a$ 与 $b$ 奇偶性不同且 $c$ 总是奇数．

不难证明这些猜想是正确的．首先，如果 $a$ 与 $b$ 都是偶数，则 $c$ 也是偶数．这意味着 $a$ ； $b, c$ 有公因数 2 ，所以三元组不是本原的．其次，假设 $a, b$ 都是奇数，那么 $c$ 必是偶数．于是存在整数 $x, y, z$ 使得

$$
a=2 x+1, \quad b=2 y+1, \quad c=2 z
$$

将其代人方程 $a^2+b^2=c^2$ 得

$$
\begin{aligned}
(2 x+1)^2+(2 y+1)^2 & =(2 z)^2 \\
4 x^2+4 x+4 y^2+4 y+2 & =4 z^2
\end{aligned}
$$

两边除以 2 得

$$
\quad 2 x^2+2 x+2 y^2+2 y+1=2 z^2
$$

最后一个等式说的是一个奇数等于一个偶数，这是不可能的，所以 $a$ 与 $b$ 不能都是奇数．因为我们已证明它们不可能都是偶数，也不可能都是奇数，故它们的奇偶性不同。再由方程 $a^2+b^2=c^2$ 可得 $c$ 是奇数．

考虑到 $a, b$ 的互换性，我们的问题化为求解方程

$$
a^2+b^2=c^2, \quad a \text

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