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数论
初等数论
整除
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2023-10-24 14:03
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整除
整除是两个整数之间的一种关系，它是数论中的最基本概念。 ## 定义 设 $a, b \in \mathbb{Z}$ 且 $b \neq 0$ ，如果存在 $c \in \mathbb{Z}$ ，使得 $a=b c$ 我们就称 $b$ 整除（divide） $a$ ，记作 $b \mid a$ 。此时我们也称 $b$ 是 $a$ 的一个因子 (或约数， divisor)， $a$ 是 $b$ 的倍数 (multiple)。 如果满足上述条件的 $c$ 不存在，则称 $b$ 不整除 $a$ ，记作 $b \nmid a$ 。 例如， $2|4,(-5)| 15,3 \nmid 5$ 等等。 特别地， $\forall a \in \mathbb{Z}, 1 \mid a ，$ 且 $\forall b \in \mathbb{Z}-\{0\}, b \mid 0$. 一些整数整除的特征见整除的特征。 ## 基本性质 设下列各条件均有意义，则 1. 传递性: $a|b, b| c \Longrightarrow a \mid c$; 2. $a|b, b| a \Longrightarrow a= \pm b$; 3. $a|b, a| c \Longrightarrow a \mid b x+c y, \forall x, y \in \mathbb{Z}$. ## 环上的整除 设 $R$ 是交换环， $a, b \in R$ ，如果存在 $c \in R$ 使得 $a=b c$ ，我们就说 $b$ 整除 $a$ ，记作 $b \mid a$ ，同时称 $b$ 是 $a$ 的因子， $a$ 是 $b$ 的倍数。如果不存在这样的 $c$ ，我们就说 $b \nmid a$. 如果 $b|a, a| b$ ，我们就说 $a, b$ 是相伴的 (associates)，常记作 $a \sim b$ ，它是一种等价关系。可以证明，整环中两个非零元 $a, b$ 相伴当且仅当存在单位 $u \in R$ (即满足存在 $v$ 使得 $u v=v u=1$ ) 使得 $b=a u$. 和单位元 1 相伴的元素是 $R$ 上的单位 (unit)，即 $1 \sim u$ ，这里 $u$ 满足: 存在 $v$ 使得 $u v=v u=1$.
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