最后更新: 2025-03-08 09:09 查看: 240 次反馈刷题

最大公约数与最小公倍数

## 最大公约数与最小公倍数

**最大公约数（GCD）** 和 **最小公倍数（LCM）** 是数学中两个重要的概念，常用于解决与整数相关的问题。以下是它们的定义、性质和计算方法：

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### **1. 最大公约数（GCD）**
**定义**：  
两个或多个整数的最大公约数是能够整除这些整数的最大正整数。

**性质**：
1. 如果两个数的最大公约数是1，则这两个数互质。
2. GCD是这些数的公共因数中最大的一个。
3. GCD可以通过质因数分解或欧几里得算法计算。

**计算方法**：
- **质因数分解法**：
  1. 将每个数分解为质因数的乘积。
  2. 取所有公共质因数的最小幂次相乘。
  
  例如：  
  求  $ 12  $ 和  $ 18  $ 的 GCD：  
   $ 12 = 2^2 \times 3^1  $  
   $ 18 = 2^1 \times 3^2  $  
  公共质因数的最小幂次： $ 2^1 \times 3^1 = 6  $  
  所以， $ \text{GCD}(12, 18) = 6  $。

- **欧几里得算法**：
  1. 用较大的数除以较小的数，得到余数。
  2. 用较小的数除以余数，重复此过程，直到余数为0。
  3. 最后一个非零余数就是 GCD。

例如：  
  求  $ 48  $ 和  $ 18  $ 的 GCD：  
   $ 48 \div 18 = 2  $ 余  $ 12  $  
   $ 18 \div 12 = 1  $ 余  $ 6  $  
   $ 12 \div 6 = 2  $ 余  $ 0  $  
  所以， $ \text{GCD}(48, 18) = 6  $。

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### **2. 最小公倍数（LCM）**
**定义**：  
两个或多个整数的最小公倍数是能够被这些整数整除的最小正整数。

**性质**：
1. LCM是这些数的公共倍数中最小的一个。
2. LCM可以通过质因数分解或利用GCD计算。

**计算方法**：
- **质因数分解法**：
  1. 将每个数分解为质因数的乘积。
  2. 取所有质因数的最高幂次相乘。
  
  例如：  
  求  $ 12  $ 和  $ 18  $ 的 LCM：  
   $ 12 = 2^2 \times 3^1  $  
   $ 18 = 2^1 \times 3^2  $  
  所有质因数的最高幂次： $ 2^2 \times 3^2 = 36  $  
  所以， $ \text{LCM}(12, 18) = 36  $。

- **利用GCD计算**：
  对于两个数  $ a  $ 和  $ b  $，有公式：  
   $$
  \text{LCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{GCD}(a, b)}
   $$
  
  例如：  
  求  $ 12  $ 和  $ 18  $ 的 LCM：  
   $ \text{GCD}(12, 18) = 6  $  
   $ \text{LCM}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{6} = 36  $。

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### **3. GCD 和 LCM 的关系**
对于两个数  $ a  $ 和  $ b  $，有以下关系：  
 $$
\text{GCD}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b
 $$

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### **4. 应用**
- **分数运算**：GCD用于约分，LCM用于通分。
- **数论问题**：GCD和LCM是解决数论问题的基础工具。
- **实际生活**：如计算时间间隔、分配任务等。

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如果你有具体的数值或问题需要计算 GCD 或 LCM，可以告诉我，我会帮你解答！

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